矩阵进行酉变换会不会改变其特征值呢？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵进行酉变换不会改变特征值。这可以通过以下证明进行说明：
设A为一个n×n的矩阵，P为一个n×n的酉矩阵，即P的共轭转置等于P的逆，即P*P^T=I，其中I为单位矩阵。则有：
det(AP-λI) = det(P^-1AP-λP^-1IP)
= det(P^-1AP-λI)
= det(P^-1) × det(A-λI) × det(P)
= det(A-λI)
因为P是酉矩阵，所以det(P)=1或-1，且P的共轭转置等于P的逆，所以P^-1也是酉矩阵。因此，通过酉变换P将矩阵A变为P^-1AP，其特征值不变。
因此，矩阵进行酉变换不会改变特征值。