【线性代数】求解向量个数与解向量组的秩的关系。有图片提问

Question

图中问号的一句不懂。如何得出这个结论？难道齐次线性方程组的解向量的个数=解向量组的秩？如果是非齐次线性方程组呢，这个关系式成立吗？如果不成立应该怎么改？谢谢。请写出尽可能详细的解答。感激不尽

Answer 1

齐次线性方程组的解都可由其基础解系线性表示
所以由齐次线性方程组的解构成的向量组的秩 <= 基础解系所含向量的个数 n-r
所以解的个数大于 n-r 时必线性相关

非齐次线性方程组最多有 n-r+1 个解向量线性无关
解的个数大于 n-r+1 时线性相关

Answer 2

我个人理解，对于一个齐次线性方程组AX=0，它的一个基础解系η1，η2，η3...ηt肯定是线性无关的，且有t=n-r个,那么这样的话解向量的个数就等于基础解系的秩。
如果有β1，β2是齐次方程组A（r(A)=1）的解向量,那么β1β2肯定是线性相关的，r(β1，β2)<=1