如何计算不定积分？

Question

如题所述

Answer 1

例如计算不定积分∫x²3√1-xdx

解：原式=3∫x²âˆš1-x

令√1-x=t

x=1-t²

dx=-2tdt

                                   

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原式=3∫（1-t²ï¼‰²t(-2t)dt

=3∫（-2t²+4t^4-2t^6）dt

=-6∫t²dt+12∫t^4dt-6∫t^6dt

=-2t^3+12/5t^5-6/7t^7+c

=-2√(1-x)^3+12/5√(1-x)^5-6/7√(1-x)^7+c。

                                   

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例如本题不定积分计算过程如下：

∫（1-3x）^6dx

=(-1/3)∫(1-3x)^6d(1-3x)

=-1/3*(1-3x)^7*(1/7)+C

=-1/21*（1-3x）^7+C。

                                   

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再如∫(sinx)^4dx

=∫[(1/2)(1-cos2x]^2dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx

=(3/8)∫dx-(1/2)∫cos2xdx+(1/8)∫cos4xdx

=(3/8)∫dx-(1/4)∫cos2xd2x+(1/32)∫cos4xd4x

=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C。

                                   

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一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

                                   

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不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

                                   

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不定积分计算方法

不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。

需要注意的是不是所有函数都能积分出来，同时各种方法可以用其一也可以多种方法综合应用。

                                   

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Answer 2

令x=atanz

dx=asec²z dz

原式=∫asecz*asec²z dz

=∫secz dtanz,a²先省略

=secztanz - ∫tanz dsecz

=secztanz - ∫tanz(secztanz) dz

=secztanz - ∫sec³z dz + ∫secz dz

∵2∫sec³z dz = secztanz + ln|secz + tanz|

∴∫sec³z dz = (1/2)secztanz + (1/2)ln|secz + tanz| + C

原式=(1/2)a²secztanz + (1/2)a²ln|secz + tanz| + C1

=(1/2)x√(a²+x²) + (1/2)a²ln|x + √(a²+x²)| + C2

扩展资料：

函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数  及  的原函数存在，则

求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数  的原函数存在，  非零常数，则

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如  ，xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。

参考资料来源：百度百科——不定积分