4道简单高数题，微积分，定积分的凑微分法

Question

如题所述

Answer 1

　　解：第1题，x→0时，属“0/0”型，用洛必达法则，
　　∴原式=(1/2)lim(x→0)ln(1+2x)/x=lim(x→0)1/(1+2x)=1。
　　第2题(12题)，∵∫(-1,1)[x^2+(x^3)sin(x^4)-√(1-x^2)]dx=∫(-1,1)x^2dx+∫(-1,1)(x^3)sin(x^4)dx-∫(-1,1)√(1-x^2)dx，
　　而∫(-1,1)x^2dx=2∫(0,1)x^2=2/3、因(x^3)sin(x^4)在积分区间是奇函数，根据定积分的性质，∫(-1,1)(x^3)sin(x^4)dx=0、∫(-1,1)√(1-x^2)其几何意义表示的是半径为1的半圆的面积，其值是π/2，∴原式=2/3-π/2。
　　第3题，当x<0时，Φ(x)=∫(0,x)f(t)dx=∫(0,-∞)0dt=0；当0≤x<1时，Φ(x)=∫(0,x)f(t)dt=∫(0,x)f(t)dx=x^2；当1≤x<x时，Φ(x)=∫(0,x)f(t)dt=∫(0,1)f(t)dt+∫(1,x)f(t)dt=1。
　　第4题(11题)，原式=∫d(e^x)/(e^x+1)=ln(e^x+1)+C。
　　供参考。

Answer 2

1.洛必达法则，等价代换
=limln(1+2x)/2x=1
2.定积分偶倍奇零
=2∫(0.1)x²-√(1-x²)dx
(三角换元脱根号)
=2x³/3-2∫(0.π/2)cosudsinu
=2/3-∫1+cos2udu
=2/3-(u+sin2u/2)
=2/3-π/2
3.φ(x)=∫(0.x)2tdt=x²(0≤x≤1)
=∫(0.1)2tdt+∫(1.x)0dt=t²=1(x>1)
4.=∫1/(e^x+1)d(e^x+1)
=ln(e^x+1)
=ln(e+1)-ln2

Answer 3

给你写了一遍 望采纳~~

Answer 4

这是过程