幂函数的导数，引理1limx→0(1+x)a_1x=a(a∈R)证明令(1+x)a_1=t，则当x→0时t→0limx→0(1+x)a_1x=limx→0[(1+x)a_1ln_(1+x)a_aln_(1+x)x]=limt→0tln_(1+t)_limx→0aln_(1+x)x=a。设f(x)=xa(a∈R)，D为f(x)的定义域且规定x∈D,x≠0f(x)=limΔx→0f(x+Δx_f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)a_xaΔx=limΔx→0xa_1_(1+Δxx)a_1Δxx。易知，Δxx→0，运用引理1的结果，可得f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)_f(x)Δx=axa_1。当a≠1时，由定义可计算得f′(0)=0，代入公式可知成立，故该公式对一切的x∈D都成立；特别地，当a=1时，则规定f′(x)≡1.正弦函数的导数，引理2limx→0sin_xx=1
一、16个基本初等函数的求导公式
（y：原函数；y'：导函数）
1、y=c，y'=0(c为常数)。
2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)(μ为常数且μ≠0)。
3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x。
4、y=logax，y'=1/(xlna)(a>0且a≠1)；y=lnx，y'=1/x。
5、y=sinx，y'=cosx。
6、y=cosx，y'=-sinx。
7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2。
8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。
9、y=arcsinx，y'=1/√(1-x^2)。
10、y=arccosx，y'=-1/√(1-x^2)。
11、y=arctanx，y'=1/(1+x^2)。
12、y=arccotx，y'=-1/(1+x^2)。
13、y=shx，y'=ch x。
14、y=chx，y'=sh x。
15、y=thx，y'=1/(chx)^2。
16、y=arshx，y'=1/√(1+x^2)。
二、基本初等函数包括什么
(1)常数函数y = c( c 为常数)
(2)幂函数y = x^a( a 为常数)
(3)指数函数y = a^x(a>0. a≠1)
(4)对数函数y =log(a) x(a>0. a≠1.真数x>0)
(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数 ：y =sinx反正弦函数：y = arcsin x等)
基本初等函数，所谓初等函数就是由基本初等函数经过有些次的四则运算和复合而成的函数。初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的并且可用一个式子表示的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数,称为非初等函数,如狄利克雷函数和黎曼函数。
