怎么用三阶行列式证明[abc]=[bca]=[cab]

Question

如题所述

Answer 1

这里的a,b,c为三元向量,即a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3)；
[abc]=矩阵[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的行列式；
[bca]=矩阵[b1,b2,b3;c1,c2,c3;a1,a2,a3]的行列式；
比较上面两式的右边两个行列式,实际上就是行列式[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的第1行与第2行互换,然后再与第3行互换,行列式中每次进行行（或列）互换,就相当于乘以（-1）,所以两次互换行列式不变,即[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的行列式=[b1,b2,b3;c1,c2,c3;a1,a2,a3]的行列式.从而[abc]=[bca].
同理证明][bca]=[cab].