求阴影部分面积

Question

已知正方形边长为1，求阴影部分面积

Answer 1

这道题用小学方法不能计算。

分析:图中的阴影是两个“叶”形的重合部分。可以分四步来计算本题阴影部分的面积。

1.如图，作辅助线，并在有关交点标出字母——求由正方形的边和两条弧围的图形（暂且称其为“边角料”吧）面积。

图一

∵AB=BC=CD=DA=1，

AM=BM=AB=1

∴ △ABM是等边三角形，∠ABM=60°，

∠MBC=90°-60°=30°，

MH=（√3）/2，

MG=1-（√3）/2，

EM=MF=1/2，

∴△CDM的面积是

1/2×1×[1-（√3）/2]

=1/2-（√3）/4，

△BCM的面积是

1/2×1×1/2=1/4，

扇形BCM的面积是

π×1²Ã—30/360=π/12，

有弦CM与弧CM围成的拱形面积是π/12-1/4，

“边角料”的面积是

1/2-√3/4-（π/12-1/4）×2=1-√3/4-π/6

2.求“叶”形的面积——它的面积等于一个半圆的面积减去一个正方形的面积。

图二

π×1²Ã—1/2-1²=π/2-1

3.求两片“叶”交叉后的面积。

图三

1²-[1-（√3)/4-π/6]×4

=√3+2π/3-3≈0.826

4.求两片“叶”的重叠部分（即本题的阴影部分面积）。

图四

（π/2-1）×2-（√3+2π/3-3）=1+π/3-√3

≈0.315

Answer 2

设正方形OABC,分别以OA,OC为x,y轴，建立直角坐标系，则
圆O:x^2+y^2=1,
与圆A:(x-1)^2+y^2=1交于点D(1/2,√3/2),
同理，圆B:(x-1)^2+(y-1)^2=1与圆A交于点E(1-√3/2,1/2），
圆C:x^2+(y-1)^2=1与圆O交于点F(√3/2,1/2），
由对称性，阴影面积=4∫<1/2,√3/2>[√(1-x^2)-1/2]dx
=4[(x/2)√（1-x^2）+(1/2)arcsinx-x/2]|<1/2,√3/2>
=4[√3/8-√3/8+(1/2)(π/3-π/6）-（√3-1）/4]
=π/3-√3+1.