怎么判断一个函数是否有界

Question

如题所述

Answer 1

判断一个函数是否有界的方法有观察函数的定义域、使用函数的单调性、运用等价无穷大等。

1、观察函数的定义域：如果函数的定义域是有限的，那么该函数一定是有界的。如果函数的定义域是闭区间[a，b]，那么该函数在该区间上有界。

2、使用函数的单调性：如果函数在某个区间内单调增加（或单调减少），那么该函数在该区间上有界。如果函数f（x）在区间[a，b]内单调增加，那么f（x）在[a，b]内的取值范围为[f（a），f（b）]，f（x）在该区间上有界。

3、运用等价无穷大：如果函数在某个点附近的取值可以通过某个等价无穷大来表达，那么该函数在该点附近是无界的。函数f（x）=1/x在x=0点附近，当x趋于0时，f（x）趋于无穷大，f（x）在x=0点附近无界。

函数有界的例子：

1、有理函数：有理函数是指数与分数的组合，它们的取值是有限的，是有界的。f（x）=3x^2+2，这个函数的取值范围在-∞到+∞之间，该函数是有界的。

2、三角函数：三角函数的取值范围是有限的，是有界的。f（x）=sin（x），这个函数的取值范围在-1到1之间，该函数是有界的。

3、周期函数：周期函数的取值在一定的周期内是重复的，是有界的。f（x）=cos（2πx），这个函数的取值范围在-1到1之间，该函数是有界的。

4、有界函数：有些函数本身就有界，它们的取值范围是预先定义好的，是有界的。f（x）=max{x，0}，这个函数的取值范围在0到+∞之间，该函数是有界的。