俩个n阶矩阵,秩相同一定等价吗？

Question

如题所述

Answer 1

同型矩阵之间，等价即等秩，等秩即等价。

要清楚矩阵之间等价的定义。A、B为两个m×n型矩阵，若A可以通过有限次初等变换变成B，则称A与B等价。

简介

存在一个定理：初等变换改变不了矩阵的秩。所以如果AB等价，则AB等秩。

那么AB等秩是否就能推出AB等价呢？实际上是可以的，因为如果AB等秩且秩为r，则AB都能通过有限次初等变换变成秩为r的等价标准型矩阵（等价标准形即左上角是单位矩阵，其余元素都是0的矩阵），所以AB之间可以通过有限次初等变换进行转换。也即是说同型AB等秩，则AB等价。