关于反函数求导法则，反函数的导数等于直接函数导数的倒数不是很明白

Question

关于反函数求导法则，反函数的导数等于直接函数导数的倒数不是很明白，三角函数和反三角函数，指数函数及其对数函数求导那几个比较明白，但像y=4x²+3x这样的函数如何证明反函数的导数等于直接函数导数的倒数？

Answer 1

反函数的求导法则：

反函数的导数是原函数导数的倒数。例题：求y=arcsinx的导函数。 首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy 因为x=siny，所以cosy=√1-x2 所以y‘=1/√1-x2。 同理可以求其他几个反三角函数的导数。

举例

y=arccotx x=coty x'=-1/sin²y， 其倒数为=-sin²y=-sin²(arccotx)=-sin²[arcsin(1/√(x²+1)]=-[1/√(x²+1)]²=1/(1+x²) ∴(arccotx)'=-1/(1+x²)

令y=f(x)为原函数,那么y'=f'(x)也就是f(x)的导数.那么这样变换,由于x=[f^(-1)(f(x))]',对其求导,也就是1=f'(x)*f'^(-1)(f(x)),也就是1=f'(x)*f'^(-1)(y)对于函数的反函数,应该将y与x互换,也就是把反函数作用的对象变为x,这样1=f'(x)*f^(-1)(x)

dx/dy=1/y'(x). y=x3,将x,y互换，则x=y3,即y=x^(1/3). dx/dy=1/3x^2,右式中的x应为x=y^1/3中的x,因此结果为1/3x^(2/3).

原函数的导数等于反函数导数的倒数。 设y=f(x),其反函数为x=g(y), 可以得到微分关系式：dy=(df/dx)dx ,dx=(dg/dy)dy . 那么,由导数和微分的关系我们得到, 原函数的导数是 df/dx = dy/dx, 反函数的导数是 dg/dy = dx/dy . 所以,可以得到 df/dx = ...

首先要保证函数y=f（x）在包含a点的开区间I上严格单调且连续,如果这函数在a点可导并且导数f'（a）≠0,那么反函数x=g（y）在点b=f（a）可导,且g'（b）=1/f'（a）=1/f'（g（b））. 证明：在所给条件下,函数x=g（y）也严格单调且连续.于是,当y≠b,y→b

Answer 2

①y=4x²+3x，直接函数
②x=√(9/64+y/4)-3/8，反函数
根据公式，反函数的导数等于直接函数导数的倒数有:
③1/8√(9/64+y/4)=1/(8x+3)
把①代入③得:
④1/(8x+3)=1/(8x+3)得证
绝对正确，望努力学习。本回答被提问者采纳

Answer 3

令y=f(x)为原函数,那么y'=f'(x)也就是f(x)的导数.那么这样变换,由于x=[f^(-1)(f(x))]',对其求导,也就是1=f'(x)*f'^(-1)(f(x)),也就是1=f'(x)*f'^(-1)(y)对于函数的反函数,应该将y与x互换,也就是把反函数作用的对象变为x,这样1=f'(x)*f^(-1)(x)从而结论得证.追问

很抱歉很久之前提的问题，但是并不是不是很理解，x=[f^(-1)(f(x))]'是怎么变换过来的，还有希望能看看小字部分，如何证明二次函数反函数导数等于直接函数倒数

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