我在这里捍卫的观点是（我认为这也是皮尔士的观点），形而上学需要以逻辑学为基础，而数学则不需要。根据皮尔士的观点，形而上学非常依赖逻辑学。不了解逻辑规则的形而上学家必定会误入歧途，因为他很容易痴迷于自己辉煌的思辨。有意思的是，正是出于保留这种辉煌的思辨的需要，才促使皮尔士对数学采取了完全相反的观点。数学不应该以逻辑学为基础，因为如果这样做的话，对数学家来说将是一种过分的限制，并因此阻碍研究的道路。可以说，数学不需要逻辑学。的确，逻辑学可以为数学家提供有趣的资料，但是量子力学、象棋规则和柯尼斯堡的七座桥（seven bridges of Knigsberg，一种数学难题——译者注）也都能够做到这一点。然而，数学并不依靠逻辑学来确保自己推论的正确性。我们将表明，在与逻辑学的关系上，数学和形而上学之间是有区别的，这种区别是由这两门学科所犯错误的不同直接造成的，而这些错误是由两门学科的不同性质导致的。形而上学是一种实证科学，逻辑学也是，但是数学不是实证科学。
为了进一步证实和说明这一点，我们有必要对数学、形而上学和逻辑学之间的关系作一番广泛的探讨。为了很好地领会皮尔士对形而上学、逻辑学和数学之间关系的理解，为了很好地领会在这方面他与人们已经普遍接受的观点之间的区别，我们将首先简要地考察一下奥古斯特·孔德对科学的划分，在皮尔士的时代，孔德对科学的划分被认为是一种具有代表性的标准观点，如果不是一种范式的话。接下来，我将大体上介绍一下皮尔士自己对科学的划分，指出皮尔士与孔德之间的区别。在对这些背景知识作一番勾勒之后，我将详细地叙述皮尔士所理解的数学、逻辑学和形而上学，以及它们之间的相互关系。我们将论证，为什么形而上学需要逻辑学，而数学不需要，另外，我们还将表明，数学和逻辑学在与形而上学的关系上有什么不同。
孔德的划分
从某种意义上说，皮尔士对科学的划分是对孔德在他的六卷本《实证哲学教程》（1830—1842）（以后简称《教程》）中阐述的科学划分的回应。因为不满于对不可观察的和不可证实的原因的解释，孔德将实证哲学（或者实证科学）严格限定在对现象的描述上。如同他在《教程》中所说的那样，“直到最终进入一种实证的状态，人类的心灵才不再徒劳无益地探索绝对的观念、宇宙的起源和归宿，以及现象的原因，并将自身应用于对它们的规律的研究上，——也就是说，应用于对它们与连续性和相似性的永恒关系的研究上。”（注：《奥古斯特·孔德的实证哲学》第2卷，哈里特·马蒂诺译，伦敦：约翰·查普曼出版社，1853年版，第1—2页。自此以后，该书将用PP来指代，冒号前后分别代表卷数和页码。）
在对实证哲学进行了这样的一番界定之后，孔德接下来将科学化分为抽象科学和具体科学两种形式。第一种科学的目的在于发现我们所接触到的现象中所存在的规则（或规律），第二种科学的目的在于研究这些规则如何被应用于特殊事例。根据孔德的方案，抽象的科学包括数学、天文学、物理学、化学、生物学和社会学，其中每后一种科学都依赖于前一种科学的原则。社会学所关注的是生物实体之间的关系问题，因而它依赖于生物学的发现；生物学的研究对象是物理客体，因而它依赖于物理学的发现；而物理学探讨的是能够被计算、被排列和被度量的对象，因而它依赖于数学的发现。
这样，在孔德看来，数学就是一种实证的科学。它像物理学和生物学一样，同样单纯地关注对现象的描述。孔德认为，几何学和力学应该“被看作是真正的自然科学，它们像其他科学一样，是以观察为基础的，尽管通过对现象的极度简化，它们也能够被系统化，从而达到一种更为完美的程度。”（PP 1:33）孔德继续论证说，几何学和力学所研究的现象“是所有现象中最一般的、最简单的和最抽象的——这些现象不可还原为其他现象，它们也完全独立于其他现象。”（PP 1:33）因此，在对科学的分类中，几何学和力学应该被放在第一位。
孔德之所以这样安排数学在科学中的地位，一部分是由于他的实证主义观点，一部分是出于他对数学本质的看法。对于孔德来说，数学是一种度量的科学，或者说，既然每种度量都会转化成为数，因而数学是一种有关数的科学。在《教程》中，孔德解释说，数学的对象是“对数量的间接度量，它试图根据存在于它们之间的精确关系来确定彼此的数量关系。”（PP 1:38）由于数学是有关度量的最一般理论，因而任何对能够被度量的现象的研究都要依赖于数学。如同孔德所说的那样，“任何研究都会最终归结为数的问题。”（PP 1:42）
孔德将数学划分为具体数学和抽象数学两种形式。对于孔德来说，具体数学中所得出的结论仍然要依据所考察对象的性质，因而对象不同，结论也会不同。相反，在抽象数学中，结论完全独立于所考察的对象。比如，在具体数学中，两个雨滴加在一块得到的仍然是一个雨滴，只不过是一个大一点的雨滴。相反在抽象数学中，一加一总是等于二，无论我们是将两个雨滴相加，还是将两件雨衣相加。
孔德的观点是很明确的，对他来说，数学是一种实证的或经验的科学，它以最抽象的方式思考现象之间的数量关系。假定实证科学把现象之间的连续性和相似性的关系作为自己的唯一目标，那么，在孔德看来，由于数学恰好适合于量化这些关系，数学就成为了“整个自然哲学的真正基础”。（PP 1：32）
皮尔士的划分
与孔德不同，皮尔士认为，数学不是一种实证科学。实际上，皮尔士正是通过严格区分了数学和实证科学，而开始了自己对科学的划分。对皮尔士来说，实证科学是那些对事实问题做出论断的科学，也就是说，实证科学试图发现那些推理所无法独自预见的结果，在这一点上皮尔士和孔德的观点是一致的。但是，在皮尔士看来，数学不是一种实证科学，因为它并不关注实证事实。相反，数学仅仅局限于从完全假定的解释中得出必然的结论，而毫不关心这些解释是否能够应用于实际的事物。
实证科学中最为基本的是哲学，而皮尔士将哲学从专门科学中区分出来。各种专门科学，比如量子力学和分子生物学，要求专门的背景知识和专门的设备，而哲学研究的是那些每个人都会接触到的实在的各个方面。皮尔士认为，哲学“满足于对日常生活事实的更为广泛的考察和比较，对于每个成熟的和健全的人来说，这些事实在他生活的每时每刻都是在场的。”（EP2：146）（注：《皮尔士精要》，皮尔士编辑项目编著，布卢明顿，1998年版。） 哲学不需要专门的设备、技术和背景知识。
皮尔士又将哲学细分为现象学（皮尔士称之为phaneroscopy）、规范科学（美学、伦理学和逻辑学）和形而上学。现象学研究的是我们在诸如感知、推理和做梦时呈现在我们心灵中的一切现象。规范科学则是将这些现象与某种理想联系起来。对美学来说，这种理想就是美，对于伦理学来说，这种理想就是善，而对于逻辑学来说，这种理想便是真。最后一种哲学形式即形而上学，它试图阐发一种对宇宙的总体观念，以便为各种专门科学提供某种基础。对皮尔士来说，形而上学非常接近于世界观（Weltanshauung）。与孔德不同，在皮尔士看来，形而上学是一种实证科学。在形而上学之后便是各种专门科学，皮尔士将这些专门科学大体上划分为自然科学和精神科学。
接下来的问题是，数学如何与包括逻辑学和形而上学在内的实证科学相关联。多年以来，人们一直试图使数学建立在逻辑学、形而上学、现象学甚至心理学的基础之上。为了了解这些观点，让我们简要地对它们作一番考察：
1.数学应该以逻辑学为基础，这是逻辑主义的核心主张。根据其严格的阐释，逻辑主义坚持，数学的公理可以从一套原始的、纯逻辑的公理中演绎出来，数学实际上是逻辑学的一种合理延伸。也有人持一种相对温和的立场，（例如）认为只有数的理论奠基于逻辑学之上。（注：参见苏珊·哈克：《皮尔士与逻辑主义：初步说明》，载《皮尔士学会通讯》1993年第29期，第33—56页。文中，苏珊·哈克将皮尔士看作是一个温和的逻辑主义者。另外，参见内森·豪泽：《论〈皮尔士与逻辑主义〉——对哈克的回应》，载同期《皮尔士学会通讯》，第57—67页。） 然而，甚至在一种非常直观的层面上，数学也似乎依赖逻辑学，因为任何数学的证明都似乎依靠逻辑学来确证自己的有效性。
2.有人认为，如果说一切事物都奠基于形而上学之上的话，那么数学应该以形而上学为基础。形而上学常常被看作是对第一原则的研究，或者根据另一种观点，形而上学是对存在的最为抽象的研究。根据第一种阐释，数学原则或者说是第一原则，因而是形而上学的一部分，或者说数学原则是派生出来的原则，因而是以形而上学为基础的。根据第二种阐释，由于数学对象属于某种存在物，因而形而上学被看作是数学的基础。
3.还有一部分人倾向于将现象学看作是数学的基础。如果说现象学是对呈现在我们心灵中的现象（无论是真实的现象还是虚假的现象，比如，梦境也属于现象）的研究的话，那么，我们就很难否认，数学对象也属于某种现象学的对象。
4.最后，也有人认为，由于数学是一种精神的产物，因而它应该以心理学这门具体科学为基础，而心理学是研究精神的运作方式，研究它的能力和局限性的。然而，我们也可以认为，在数学问题上坚持心理主义的大部分人，他们之所以这样做，乃是因为他们（不言而喻地）将一种逻辑学上的心理主义和另一种认为逻辑学是数学基础的观点结合在了一起，在这种情况下，这后一种观点也就会蜕变为第一种观点。
为了考察皮尔士是如何看待数学、逻辑学和形而上学之间的关系的，我将首先详细地描述，在皮尔士看来，数学、逻辑学和形而上学分别代表了什么。然而，由于它们都被皮尔士看作是科学，因而，我们有必要首先讨论一下皮尔士对科学的理解。
对于皮尔士来说，科学并非是一种系统的知识总体，也不是一种被称为“科学方法”的特殊方法。在他看来，科学应该是某种态度，也就是说，科学是“某种对知识的忘我的、审慎的和终生的追求；是一种对真理的献身，而所谓的真理，它不是那种人类当下看到的真理，而是那种它还无法看到的真理。”（R 1126：08）（注：所有对皮尔士哈佛手稿的引用都根据罗宾（Robin）的目录数码，后面是德克萨斯技术大学的实用主义研究院所设置的页码。页码相当精确地反映了《皮尔士论文集》中手稿的顺序，这里所说的论文集指的是33盘缩微胶片（剑桥，马萨诸塞：哈佛大学图书馆，1963—1970）。另见理查德·罗宾：《皮尔士注解目录》（阿姆赫斯特：马萨诸塞大学出版社，1967年版）。）如同皮尔士在其他地方所表述的那样，科学不应该是“某种已经被确认的真理的系统汇总”，而应该是“科学倡导者的科学活动”（R17：06）。因此，在皮尔士看来，“科学”这个术语指的是任何一种活动，在这种活动中，追求科学的人出于某种真诚的欲望，试图发现问题的真正答案。在一种更为有限的意义上，科学仅仅指的是那些单纯追求真理的活动。这样的话，侦破某宗谋杀案可以被看作是一种科学，但是，它不属于那种有限意义上的科学，因为它对真相的探索是出于某种较为次要的目的，也就是说，它不过是想通过发现凶手从而确保正义的实现。
数学
皮尔士对数学的界定起始于他父亲所下的定义，他父亲将数学定义为“推演出必然结论的科学。”（注：本杰明·皮尔士：《直线结合代数》，华盛顿特区，1870年版，第一节。） 在1895年左右，皮尔士谈到了这一定义和他自己的定义之间的关系：“我在这里所提倡的定义与我父亲的定义有所区别，这种区别仅仅在于，在我看来，数学不仅包括从假设中演绎出结论，而且还应包括对假设的架构。”（R 18:02）不必说，架构假设与证明定理是完全不同的事情。
皮尔士对数学定义的引申符合他对科学的一般看法，在他看来，科学是那些被发现问题的真实答案的欲望所驱使的人们的活动。这意味着，从根本上来说，数学便是数学家的所作所为，而数学家的活动绝不仅限于推演必然的结论。推演必然的结论最多只是数学的一部分，皮尔士敏锐地观察到，有那么一批有才华的和颇有影响力的数学家，它们在这方面做得特别糟糕，而且那些颇有力量的数学观念长期得不到证实，或者说，作为这些数学观念基础的证据后来证明是虚妄的，甚至当时就是虚假的。
为了确定皮尔士对数学的定义，我们不妨略微回溯一下历史，看看数学是如何与实证科学相联系的。对于皮尔士来说，作为一种理论科学的数学要落后于作为实践科学的数学。在似乎是《数学的新原理》的草稿文本中，皮尔士说：“数学家的任务在于获得精确的观念和假设，在初次架构这些观念和假设的时候，他受到了某个实际问题的启发，然后他描绘出它们的因果关系，最后进行概括。”（R 188：02）这样，当物理学家、气象学者或经济学家遇到某个复杂问题的时候，就会叫数学家过来帮忙。皮尔士认为，这个时候数学家的任务在于，“想象一种不同于真实事态的理想事态，与真实事态相比，这种理想事态必须更为简单，但是也不能与真实事态完全不同，从而影响对所提问题的实际解答。”（R 165a：67，着重号为后加）因而，数学就为科学家提供了一个框架模式，可以把它看作是代表了正在研究的现象；它不是去研究带有一切偶然细节的现象本身，而是仅仅研究这个模式。
通过将科学定义为一种从业者的活动，皮尔士就在很大程度上将科学的划分归结为一种劳动的分工。基于对科学的这种态度，皮尔士认为，数学家最适合于将有关经验研究所产生的实证事实的松散理论，转化为紧凑的数学模式：
经验结果必须被简化和概括，并从事实中分离出来，使之成为完善的观念，然后才可用于数学的目的。简而言之，这些经验结果必须加以修改，以适应数学和数学家的能力。只有数学家才清楚这些能力是什么，因此，架构数学假设的任务必须由数学家来完成。（R 17：06及其后）
那么，一个合格的数学家应该具备哪些能力呢？根据皮尔士的观点，一个合格的数学家应该具备三种智力品格，即，想象力、专注力和概括力。皮尔士认为，想象力是“向自己清楚地构想复杂结构的能力”；专注力是“抓住一个问题，将它转化为一种用来研究的便利的形式，弄清楚它的要点，准确地确定它所包含的和没有包含的内容的能力”；概括力指的是这样一种能力，它能够使我们“认识到，乍看起来是一堆错综复杂的事实的东西，实际上是一个和谐的和可理解整体的某个片断。”（R 252：20）（注：这三种智力品格大体上与皮尔士有关观念的看法相一致。如同皮尔士在《心灵的规律》一文中所说的那样：“三种要素构成了一个观念。第一种要素是观念作为一种情感的内在品格。第二种是它用以影响其他观念的那种能力……第三种要素是一种观念促成其他观念的倾向。”（CP第6卷，第135页，1892年版）） 在皮尔士看来，概括力是“一个数学家的首要能力，”（R 278a：91）而且也是一项最难获得的技能。皮尔士强调想象力、专注力和概括力，这与那种认为数学的首要任务是提供证明的观点大相径庭的。
前面我们描述了数学模式是如何出现的，并对数学态度提出了一些看法，接下来我们描述一下纯数学。皮尔士将纯数学定义为“对理想事态的精确研究。”（R 165a：68）（注：皮尔士附带提到，这种有关数学的观念是与他父亲的定义相一致的。他说：“在1870年，本杰明·皮尔士将数学定义为‘推演必然结论的科学’。除了从完满的知识中，我们无法推演出必然的结论，而任何关于实在世界的知识都不可能是完满的，因此，根据这一定义，数学必须无一例外地与假设相关联。”（R 15：11及其后）） 也就是说，抛开那些推动研究的实际动机，聚精会神地研究模式本身，忽略这些模式与外在于它们的事情的任何关系，不顾研究者的任何动机，而完全单纯地研究模式本身。一般说来，纯数学青睐那些能够从中推演出大量结论的模式。（R 14：29）特别需要指出的是，那些受到数钱和丈量土地等行为激发的模式产生了大量的纯数学。
如同对数学和实证科学之间关系的探讨所表明的那样，在科学中所遇到的现象是数学观念和理论的重要来源。从更一般的意义上来说，在皮尔士看来，为数学家提供观念的是经验。拿“面”、“线”、“点”、“直线”（皮尔士也称为射线）和“平面”等数学概念来说。根据皮尔士的说法：
几何学的面要比任何一片金箔还要薄，它就像没入水中的石头和在其之上的水之间的缝隙那样薄。几何学的线要比蜘蛛丝还要细，它就像部分没入水中的石头与水和空气之间的裂缝那样窄。几何学的点要比针尖还要小，它就像四个严丝合缝的物体之间的缝隙那样小。……从一条线的末端透视空中的一个点所得到的形象便是一条直线或射线……一个面，无论我们如何滑动和翻转甚至颠倒，它都保持不变，这样的一个面便是几何学的平面。（R 94：56）
因此，对皮尔士来说，数学对象都来源于经验，并根据经验得到精确的界定。然而同时，数学并不关心实证事实，在这一点上数学非常不同于实证科学。数学家将数学看作是一个虚构的世界，他们试图表明，在这些虚构的世界中如何运用其中的规则进行推论。最后，数学假设“是一种纯粹的心灵创造物，它仅仅包括数学家的观念或者梦想，它所关注的只是精确、清晰和连贯。”（R 17：07）
逻辑学
对于皮尔士来说，逻辑学针对的是事实问题，它最关心的是，前提是真实的而结论是否是虚假的问题。在科学研究的语境中，也就是说，当我们试图发现某个事情的时候，这就成为了一种规范科学。我们赞同这样的理论，即，认为前提是真实的而结论是虚假的情况是不可能的。我们反对这样的理论，即，认为真实的前提和虚假的结论能够共存。由于我们如何进行研究是一种自愿的选择，因而这种赞同或反对的态度是一种道德上的赞同或反对。（注：皮尔士：《论文集》，8卷，查尔斯·哈茨霍恩、保罗·韦斯和亚瑟·伯克斯编，哈佛大学出版社，1931—1958年版，第5卷，第130页。自此以后，该书将用CP来指代。） 实际上，皮尔士认为，与本能相对的理性能够进行自我批评和自我控制，这是理性的巨大优势所在。简要地说，不存在我们本能地不信任的本能，但的确存在遭到推理本身谴责的推理。（R 832:02）由于逻辑学在它所赞同的和它所谴责的之间作了区分，它实际上通过一种二分法将命题分成了好的和坏的两种。假如逻辑学的目的是再现某种东西，那么以上的区分就转化成了真实的（好的再现）与虚假的（坏的再现）之间的区分。
因为逻辑学研究好的方法是为了通过推理来发现实证真理，所以逻辑学并不仅仅局限于对演绎推理的研究，它还包括对归纳推理和假说推理（abduction）的研究。由于演绎推理能够导致确定的结论，因而演绎推理通常被看作是逻辑学的核心或者推论的范式，但实际上，演绎推理无法单独导致任何实证的知识。因此，对于声称是形而上学或专门科学之基础的逻辑学来说，研究归纳推理和假说推理就是至关重要的。
总之，对于皮尔士来说，逻辑学是一种规范科学。拿皮尔士的话来说，逻辑学是“有关如何控制思想的原则的科学，它是为了进行自我控制，也为了获得真理。”（R 655:26，1910）“为了真理”这个短语至关重要，它表明，与数学不同，逻辑学屈从于实在，而且正因为如此，逻辑学是一种规范科学。此外，作为规范科学，逻辑学与诸如箭术科学（研究如何用弓箭最大程度地射中目标的学问）存在根本的区别。箭术科学研究的是射箭的技艺，而逻辑学研究的是推理的技艺。当然，对推理技艺的研究不应该混同于推理技艺本身。而且，对推理技艺的研究不见得会提高一个人的推理能力。实际上，皮尔士对研究逻辑学的好处深表怀疑。在1894年出版的逻辑学著作《如何推理》一书中，皮尔士坦率地说：“在所有科学中，逻辑学产生的思想最为贫乏。”（R 413，p.239）
数学和逻辑学的关系
鉴于以上所描述的有关数学和逻辑学的观点，自然会出现二者之间的关系问题。乍看起来有以下三种可能的选项：第一，逻辑学的规律源自数学。第二，与第一种选项相反，所有的数学归根结底都源自逻辑学的规律。第三，数学以一种与其他实证科学相同的连接方式与逻辑学相关联。
逻辑学的规律源自数学的观点很难自圆其说，因为数学和逻辑学（起码根据皮尔士的解释）是性质截然不同的两门学科。逻辑学研究的是我们应该如何进行推理，以便使我们的思想与实证真理相符合，而数学对实证真理不感兴趣。这样就很难看出数学如何能够成为逻辑学的基础。有人可能反驳说，逻辑论证至少是数学论证的子集，也就是说，是一些关心实际的事实而不仅仅是可能性的论证，但是，这需要表明，这种子集是如何与更广泛的数学领域相区别的，而且这只有通过介绍逻辑学和数学之间的不同之处才能做到。逻辑学不可能来自任何的数学原则，就它的性质来说，数学不可能在实证的东西和可能的东西之间做出区分。而且，这样的路径也不符合皮尔士对数学的理解，在皮尔士看来，数学是对我们所遇到的现象的某些方面和关系的理想化。只有数学与实证事实有关系才谈得上数学是逻辑这门实证科学的基础。因此，数学只能是一种派生的科学而不是基础的科学。
我们能够反过来，说所有数学都来源于逻辑原则吗？这是逻辑主义者的观点。皮尔士同样反对这第二种选项。这种逻辑主义的观点将会使数学成为一种实证科学，而且也没有恰当理由可以说明为什么我们应当把数学限制为可以派生于原则的东西，而这样的原则又是用来足以可能地保证我们的观念代表了实证真理。这第二种观点尤其成问题。皮尔士反复强调，实证真理不是数学所追求的目标。
我们再看第三种观点，我认为这也是皮尔士的一种观点。在这里，逻辑学和数学之间的关系无异于其他实证科学与数学的关系。如同我在前面所提到的那样，专门科学求助于数学，以便用较简单的但仍然具有代表性的数学模式来取代复杂的问题。正是通过这种方式，产生了科学的数学分支，比如物理学、化学和经济学。因此，像物理学家和经济学家那样，逻辑学家也向数学家寻求帮助。数学家吸收逻辑学家向他提供的材料，力图将它转化成某种理想事态，剔除掉所有的偶然因素，用一种较为简单的关系取代复杂的关系，这种简单的关系虽然是虚假的，但适合于当前问题的解决。接下来，数学家研究这种随后的理想状态，来看看其中有什么真实的东西。数学家甚至走得更远，他试图对这种理想状态的某些特征作一些改变，看看它能够通向何处。存在这样一个经典的例子，虽然不是在逻辑学中而是在算术中，那便是这样一个大胆的想法：负1 的平方根的确有一个确定的解，这个想法导致了一种迷人的和富有成效的虚数概念。
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