高中数学锐二面角大小问题

Question

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答案:60度

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Answer 1

（1）证明：∵ A1M⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴A1M⊥BC，
∵M是BC的中点，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AM⊥BC，
∵AM∩A1M=M，
∴BC⊥平面AA1M.
（2）解：作MN⊥AB，垂足N，连结A1N，
∵ A1M⊥平面ABC，
∴ A1M⊥AB，
又∵A1M∩MN=M，
∴AB⊥平面A1MN
∴AB⊥A1N，
∴∠A1NM是二面角A1-AB-C的平面角，
∵AC=AB=a,BC=√2*a,
∴AM=BC/2=√2*a/2, MN=√2/2*(√2a/2)=a/2,
A1M是棱柱的高，也是三棱锥C-A1B1C1的高，
S(△A1B1C1)=A1C1*A1B1/2=a*a/2=a^2/2,
V(三棱锥C-A1B1C1)=1/3*S(△A1B1C1)*A1M= √3*a^3/12,
∴A1M=√3/2,
∴tan∠MNA1=A1M/MN=√3,
∴∠MNA1=60°，
因此，侧面ABB1A1与底面ABC所成锐二面角的大小为 60°.