如何用ε-δ定义证明函数极限

Question

lim(x→3)(3x-1)=8这类我知道
lim(x→3)x^2=9这类怎么证明
以下是网上答案：
考虑
|x^2-9|
=|x+3|*|x-3|
先限制x的范围：2<x<4
<7*|x-3|
对任意ε>0，存在δ=min{ε/7,1}>0
那么当|x-3|<δ，就有有|x^2-9|<ε
因此，根据定义：
lim(x→3) x^2=9

能不能讲的清楚一点？限制x范围什么意思
下面δ=min{ε/7,1}>0又是怎么回事 ，既然|x-3|<1，5<|x+3|<7，|x+3|*|x-3|<7*|x-3|
后面是怎么推导出来的，能不能说清楚一点

求详细讲解此类方法

Answer 1

函数极限定义： 设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当 |x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。 如limx^3=27 X趋近3时的极限： 因为x趋近3，我们只考虑x＝3近旁的X值即可，不妨令|x-3|<1 2<x<4 于是有|x^3-27|=|X-3||x^2+3x+9|<37|x-3| 因此，对于任意ε>0，总存在正数δ＝min(1，ε/37)取最小值，使得当 |x-3|<δ时，|f(x)-27|<ε成立， 故，27是函数f(x)=x^3在x=3处的极限。

Answer 2

【没有必要那么麻烦】

lim(x→3)x^2-9
=lim(x→3)(x+3)(x-3)
=lim(x→3)6*(x-3)
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