基本不等式求最值的问题

Question

若x＞0，求函数y=2x/x²+1的最大值
已知0＜x＜1，求函数y=1/x+1/1-x的最小值

Answer 1

解1由y=2x/x²+1

=2/(x+1/x)
知求函数y=2x/x²+1的最大值

即求t=x+1/x的最小值
由t=x+1/x≥2√x×1/x=2
即x+1/x≥2...................当且仅当x=1时等号成立。
即1/(x+1/x)≤1/2
知2/(x+1/x)≤1
即y≤1
故函数y=2x/x²+1的最大值为1，

2由
y=1/x+1/(1-x)

=[1/x+1/(1-x)]×1
=[1/x+1/(1-x)]×[x+(1-x)]
=1+1+x/(1-x)+(1-x)/x
≥2+2√x/(1-x)×(1-x)/x
=2+2
=4.............当且仅当x=1/2时等号成立
故函数y=1/x+1/1-x的最小值为4.

Answer 2

（1）y=2/(x+1/x)≤2/2=1，x=1时等号成立
（2）y=1/x+1/(1-x)
=[x+(1-x)]*[1/x+1/(1-x)]
=2+x/(1-x)+(1-x)/x
≥2+2=4
当且仅当x=1/2时等号成立