如何推导双曲线和椭圆的焦半径公式？

Question

如题所述

Answer 1

在椭圆x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）中，设点M（x0, y0）与焦点F1(-c, 0)和F2(c, 0)的距离分别为r1和r2。根据椭圆性质，我们有:

左焦半径 r1 = a + e * x0，其中e为离心率。

推导过程如下：由于r1与MN1的比例等于r2与MN2的比例等于e，即 r1 / ∣MN1∣ = r2 / ∣MN2∣ = e，我们可以得出

r1 = e * ∣MN1∣ = e * (a²/c + x0) = a + ex0，
r2 = e * ∣MN2∣ = e * (a²/c - x0) = a - ex0。

类似地，点M到焦点的距离为:

MF1 = a + ey0，MF2 = a - ey0。

对于双曲线，焦半径的定义是双曲线上任意一点M到焦点的连线段。当点P在右支时，焦半径公式是|PF2| = e * x - a，左支则为|PF1| = a - e * x（其中x为点P的横坐标）。

双曲线过右焦点的半径r = |a - ex|，过左焦点的半径r = |a + ex|。

对于抛物线，其焦半径公式为r = x + p/2，这里的r是与焦点垂直于轴的弦，也被称为半通径。

总结来说，椭圆、双曲线和抛物线的焦半径分别与它们的定义和性质紧密相关，通过这些公式，我们可以快速计算出这些曲线上的关键距离。