格林公式四个等价条件介绍如下:
1)区域D必须是单连通的,也就是说区域D是连续的,通俗讲,区域D中没有“洞”。
2)组成区域D的曲线必须是连续的,曲线是闭曲线,围成区域D。
3)曲线L(可以是分段组成)具有正向规定,曲线的方向是正向。
4)被积函数在D中具有连续一阶连续偏导数,P(x,y),Q(x,y)在D内具有连续的偏导数;
则∫(L) P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫(D) (αQ/αx-αP/αy)dxdy。
扩展资料:
1.格林公式
当(1)积分曲线为闭曲线L;
(2)积分曲线L的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向;
(3)在闭区域上,两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数,则有
【注1】正确使用以上标准格林公式,三个条件:闭曲线、正方向、闭区域上的偏导连续性,一个都不能少。
【注2】格林公式中闭区域的边界曲线不取由左手法则确定的正向,而是取相反的方向时,则借助于对坐标的曲线积分的方向性计算性质,有
即不管边界曲线取什么方向,有
利用“左手法则”判断为正方向,则取正;否则取负。
【注3】判断平面区域的边界曲线正向的“左手法则”:当沿着边界曲线的正方向行走时,平面区域应该位于我们左手一侧,
所以对于单连通区域,即只有外边界曲线的实心区域来说,曲线的正方向为逆时钟方向;对于多连通区域,则边界曲线由内外边界曲线构成,外边界曲线的正方向为逆时钟方向
内边界的边界曲线为顺时钟方向。
【注4】注意封闭曲线切向量方向与外法线方向的关系。如果切向量方向为T0=(cosα,cosβ)(T=(x’(t),y’(t)))
则当曲线的切向量指向为逆时钟方向时,则外法线方向的方向向量为n0=(cosβ,-cosα)(n=(y’(t),-x’(t)));当曲线的切向量指向为顺时钟方向时,则外法线方向的方向向量为n0=(-cosβ,cosα)(n=-(y’(t),-x’(t)))。
即曲线的法向量与切向量的关系为:n=±(y’(t),-x’(t))。取正号时,法向量为切向量顺时钟旋转90度得到;取负号时,法向量为切向量逆时钟旋转90度得到。