矩阵ab= ba有什么推论

Question

如题所述

Answer 1

矩阵ab=ba的推论

1. 两个矩阵可交换

若两个方阵a和b满足条件ab=ba，则称它们可交换。由于ab=ba，则可以推导出b和a都是对方的银子（逆矩阵），于是推得a和b都是可逆的，从而它们的行列式都不为零。

2. 两个矩阵的特征值相同

由于矩阵ab=ba，所以a和b具有相同的特征值。假设λ是a的一个n重特征值，且x是对应于λ的任意的非零特征向量，则bx=λx。则有b(ax)=ba(x)=λ(ax)，所以ax是对应于λ的b的一个n重特征向量，从而可知a和b具有相同的特征值。

3. 初等变换不变性

由于矩阵ab=ba，所以a和b的秩相等。因此，a和b在进行初等变换后的秩仍然相等，从而可得到初等变换的不变性。

4. 对角化

如果矩阵a可以对角化，即能够写成a=SDS-1的形式，则b也可以对角化，且与a具有相同的对角化矩阵S。因为a和b具有相同的特征向量，所以它们有相同的对角化矩阵。

5. 总结

因此，矩阵ab=ba可以引出一系列的推论，包括矩阵可交换、特征值相同、初等变换不变性以及对角化等。这些推论在矩阵理论和应用中具有重要的作用。