不定积分与定积分的关系式？

Question

如题所述

Answer 1

∫ 1/[x√(1 - x²)] dx

= ∫ 1/[x * √[x²(1/x² - 1)] dx

= ∫ 1/[x * |x| * √(1/x² - 1)] dx

= ∫ 1/[x²√(1/x² - 1)] dx

= - ∫ 1/√[(1/x)² - 1] d(1/x)

= - ln|1/x + √(1/x² - 1)| + C

= ln| x/[1 + √(1 - x²)] | + C

或设x = sinθ,dx = cosθ dθ,θ∈[- π/2,0)U(0,π/2]

∫ 1/[x√(1 - x²)] dx

= ∫ 1/[sinθ * |cosθ| ] * cosθ dθ

= ∫ 1/(sinθ * cosθ) * cosθ dθ

= ∫ cscθ dθ

= - ln| cscθ + cotθ | + C

= - ln| 1/x + √(1 - x²)/x | + C

= ln| x/[1 + √(1 - x²)] | + C

扩展资料：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。