2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（理科）全解全析
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
解析：B
2．若函数 的反函数图象过点 ，则函数 的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选C
3．若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
解析：因为 ，所以向量 与 垂直，选D
4．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
解析：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B
5．若 ，则复数 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：取θ=π得 =-1+i，第二象限，选B
6．若函数 的图象按向量 平移后，得到函数 的图象，则向量 （ ）
A． B． C． D．
解析：函数 为 ，令 得平移公式，所以向量 ，选A
7．若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
解析：由有关性质排除A、B、D，选C
8．已知变量 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（ ）， 表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（ ）时取最小值 ，选A
9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
解析：从中任取两个球共有 种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有 种取法，概率为 ，选D
10．设 是两个命题： ，则 是 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p： 或 ，q： ，结合数轴知 是 的充分而不必要条件，选A
11．设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为 ，设 ，根据双曲线定义得 ，所以 ， ， 为直角三角形，其面积为 ，选B
12．已知 与 是定义在 上的连续函数，如果 与 仅当 时的函数值为0，且 ，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是 的极大值，也是 的极大值
B．0是 的极小值，也是 的极小值
C．0是 的极大值，但不是 的极值
D．0是 的极小值，但不是 的极值
解析：根据题意和图形知当0是 的极大值时，不是 的极值是不可能的，选C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数 在点 处连续，则 ．
解析：因为 在点 处连续，所以 ，填-1
14．设椭圆 上一点 到左准线的距离为10， 是该椭圆的左焦点，若点 满足 ，则 = ．
解析：椭圆 左准线为 ，左焦点为（-3，0），P（ ，由已知M为PF中点，M（ ，所以
15．若一个底面边长为 ，棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．
解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由 得R= ，球体积为
16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第 个数为 ，若 ， ， ， ，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
解析：分两步：（1）先排 ， =2，有2种； =3有2种； =4有1种，共有5种；（2）再排 ，共有 种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数 （其中 ）
（I）求函数 的值域；
（II）若对任意的 ，函数 ， 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，试确定 的值（不必证明），并求函数 的单调增区间．
本小题主要考查三角函数公式，三角函数图像和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．
（I）解：
5分
由 得
可知函数 的值域为 。 7分
（II）解：由题设条件及三角函数图像和性质可知， 的周期为 ，又由 ，得 ，即得 。 9分
于是有 ，再由 ，解得
。
所以 的单调增区间为 12分
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为棱 的中点， 为棱 上的点，二面角 为 ．
（I）证明： ；
（II）求 的长，并求点 到平面 的距离．
本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力
（I）证明：连结 ，
三棱柱 是直三棱柱，
平面 ，
为 在平面 内的射影．
中， ， 为 中点，
，
．
，
． 4分
（II）解法一：过点 作 的平行线，
交 的延长线于 ，连结 ．
分别为 的中点，
．
又 ， ．
．
平面 ，
为 在平面 内的射影．
．
为二面角 的平面角， ．
在 中， ， ，
．
作 ，垂足为 ，
， ，
平面 ，
平面 平面 ，
平面 ．
在 中， ， ，
，即 到平面 的距离为 ．
，
平面 ，
到平面 的距离与 到平面 的距离相等，为 ．
解法二：过点 作 的平行线，交 的延长线于 ，连接 ．
分别为 的中点，
．
又 ，
．
平面 ，
是 在平面 内的射影，
．
为二面角 的平面角， ．
在 中， ， ，
． 8分
设 到平面 的距离为 ，
．
， ，
，
，
，即 到平面 的距离为 ． 12分
19．（本小题满分12分）
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 与产量 的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 与产量 的函数关系式如下表所示：
市场情形 概率 价格 与产量 的函数关系式
好 0.4
中 0.4
差 0.2
设 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 ，表示当产量为 ，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润 与产量 的函数关系式；
（II）当产量 确定时，求期望 ；
（III）试问产量 取何值时， 取得最大值．
本小题主要考查数学期望，利用导数求多项式函数最值等基础知识，考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力．
（I）解：由题意可得
同理可得
4分
（II）解：由期望定义可知
8分
（III）解：由（II）可知 是产量 的函数，设
得 令 解得
由题意及问题的实际意义可知，当 时， 取得最大值，即 最大时的产量为10.
20．（本小题满分14分）
已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原点，设圆 是 的内接圆（点 为圆心）
（I）求圆 的方程；
（II）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别作圆 的两条切线 ，切点为 ，求 的最大值和最小值．
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．
（I）解法一：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知
．
解得 ，
所以 ， 或 ， ．
设圆心 的坐标为 ，则 ，所以圆 的方程为
． 4分
解法二：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知
．
又因为 ， ，可得 ．即
．
由 ， ，可知 ，故 两点关于 轴对称，所以圆心 在 轴上．
设 点的坐标为 ，则 点坐标为 ，于是有 ，解得 ，所以圆 的方程为 ． 4分
（II）解：设 ，则
． 8分
在 中， ，由圆的几何性质得
， ， 10分
所以 ，由此可得
．
则 的最大值为 ，最小值为 ． 12分
21．（本小题满分12分）
已知数列 ， 与函数 ， ， 满足条件：
， .
（I）若 ， ， ， 存在，求 的取值范围；
（II）若函数 为 上的增函数， ， ， ，证明对任意 ， （用 表示）．
解：（I）由题设知 得 。又已知 ，可得 4分
4分
由 ， ，可知 ， ，所以 是等比数列，其首项为 ，公比为 。于是 ，即 。又 存在，可得 ，所以 且 。 8分
（II）证明：因为 ，所以 ，即 。下面用数学归纳法证明 （ ）.
当 时，由 为增函数，且 ，得 ， ， ，
即 ，结论成立。 …10分
假设 时结论成立，即 。由 为增函数，得 ，即 ，进而得 ，即 ，这就是说当 时，结论也成立。根据（1）和（2）可知，对任意的 ， 。…12分
22．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（I）证明：当 时， 在 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 ，试说明存在实数 ，当 时， 在闭区间 上是减函数；
（III）证明： ．
本小题主要考察二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。
（I）证明：由题设得 ， 。又由 ，且 得 ，即 。由此可知， 在 上是增函数。
（II）因为 是 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t>k时 ，即 在闭区间 上成立即可。因为 在闭区间 上连续，故在闭区间 上有最大值，设其为k，于是在t>k时， 在闭区间 上恒成立，
即 在闭区间 上为减函数。 7分
（III）设 ，即
，
易得
。 9分
令 ，则 ，易知 。当 时， ；当 时， 。故当 时， 取最小值， 。所以
，
于是对任意的 ，都有 ，即 。 12分
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