什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质

Question

如题所述

Answer 1

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号tn表示，
第二类切比雪夫多项式用un表示。切比雪夫多项式
tn
或
un
代表
n
阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

Answer 2

切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，1821一1894)的名字命名的重要的特殊函数，又分为第一类切比雪夫多项式Tn和第二类切比雪夫多项式Un---它们简称切比雪夫多项式。
这是源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
基本性质
对每个非负整数n，
Tn(x)
和
Un(x)
都为
n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x
的偶（奇）函数，
在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
n≥1时，Tn的最高次项系数为2^(n-1)，n=0时系数为1。