焦半径公式的推导

Question

如题所述

Answer 1

正椭圆=1(ab0)或ρ=ep/(1-cosθ)。
正椭圆=1(ab0)或ρ=ep/(1-cosθ)(P为焦参数,(e1)的焦半径有许多有趣的结论。
椭圆上任意一点的焦半径性质1椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1上任意一点T(x_0,y_0)的两焦半径分别为|TF_1|=a+es。|TF_2|=a-ex。(其中F_1、F_2为左、右焦点,以下均同)。
若焦半径的倾角为θ,则|T_1F_1|=b~2/(a-ccosθ),T_2F_2|=b~2/(a+ccosθ)(c=(a~2-b~2)~(1/2)性质2椭圆x~2/a~2-y~2/b~2=1上任一点T的两焦半径的乘积,(1)其最大值为a~2,最小值为b~2;(2)与a~2b~2的比是中心到过T点的椭圆切线的距离。极坐标的公式ρ=ep/(1-cosθ)(P为焦参数）。

Answer 2

焦半径公式的推导：
利用双曲线的第二定义：设双曲线
，
是其左右焦点。
则由第二定义：
，
同理：
即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（
其中
分别是双曲线的下上焦点）
注意：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）
椭圆上一点p(x0，y0)与焦点f连结的线段pf叫做椭圆的焦半径，与左焦点f1对应的焦半径叫做左焦半径，与右焦点f2对应的焦半径叫右焦半径．一般用椭圆的第二定义来推导焦半径长的公式．
=a+ex0
又|pf2|+|pf1|=2a，
∴|pf2|＝2a-|pf1|=a-ex0．
即当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的左、右焦半径分别是
|pf1|=a+ey0，|pf2|=a－ey0
的下、上焦半径分别是
|pf1|=a+ey0，|pf2|＝a－ey0
在求焦点弦长时，注意焦半径公式的使用