用极坐标证明椭圆焦点弦两部分的倒数和

Question

单独证明

Answer 1

设F为焦点，L为对应的准线，AB为焦点弦。AP、BQ、FR垂直于L，垂足为P,Q,R。
由圆锥曲线的定义，AF = e * AP, BF = e * BQ。
在梯形ABQP中，已知比值AF/BF，可以求出：
FR = AF/AB * BQ + BF/AB * AP
= AF/(AF+BF) / e * BF + BF/(AF+BF) / e * AF
= 2AF*BF/(AF+BF) / e
于是2/(e*FR) = 1/AF + 1/BF
法二：利用极坐标公式：r = ep/(1-e*cosθ).
焦半径r1,r2分别对应θ，θ+pi
于是1/r1 + 1/r2 = (1-e*cosθ)/ep + (1+e*cosθ)/ep = 2/ep
p定义为焦点到准线距离，与上面一致

Answer 2

在梯形ABQP中，已知比值AF/BF，可以求出：