抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离

Question

如题所述

Answer 1

不能消去z，得到一个关于x,y的圆的方程做！
因为消去z得到的关于x,y的圆的方程是椭圆在xy平面的投影，自然你用x,y的圆的方程所求的最长距离和最短距离
就不是
原点到这椭圆的最长距离和最短距离。
解：

以d记为原点到点(x,y,z)的距离，则：d^2=x^2+y^2+z^2。问题相当于求条件极值：

max
d^2
,
z=x^2+y^2
,x+y+z=1
.

作拉格朗日函数l=x^2+y^2+z^2+λ(x^2+y^2-z)+μ(x+y+z-1)
可求得方程组：

lx=2(λ+1)x+μ=0

①;

( lx表示对x求偏导)
；

ly=2(λ+1)y+μ=0

②;

( ly表示对x求偏导)；

lz=2z-λ+μ=0

③;

( lz表示对x求偏导)；

x^2+y^2-z=0

④;

x+y+z-1=0

⑤;
联立小曲λ，μ可解得：

x=y=(-1+√3)/2

;

z=2-√3
；

或者
x=y=(-1-√3)/2

;

z=2+√3
；
于是可求得：

dmax=√(9+5√3)

;

dmin=√(9-5√3)
。