不用直尺，仅用圆规，如何四等分一个圆

Question

如题所述

Answer 1

趣味的圆规几何学

　　据说拿破仑对于只用圆规的几何作图问题极感兴趣，他曾给当时法国数 学家出过一道题目：“仅用圆规而不用直尺请把已知圆周四等分”。
　　拿破仑的这道题，如果给定圆的圆心是已知的，就不算难。下图表明了 一种作法：
　　在已知圆 O（r）上任取一点 A。然后，从 A 点开始，用圆规量半径的方 法，依次在圆用上作出 B、C、D 三点。再作圆 A（AC）交圆 D（DB）于 E 点。 最后，作圆 A（OE）交已知圆 O（r）于 P、Q 两点，则 A，P，D，Q 四点把圆
O 四等分。
从而 A、P、D、Q 确为圆 O 的四等分点。 如果拿破仑问题不给出圆心，那就难办多了！不过这是一定能够做到的！ 公元 1797 年，意大利几何学家马施罗姆指出：任何一个能用直尺和圆规

作出的几何图形，都可以单独用圆规作出。也就是说：“直尺是多余的！” 学过平面几何的读者，可能都已了解，用直尺和圆规的一切作图，归根
到底都取决于：
（甲）求两圆交点；
（乙）求一直线与一个圆的交点；
（丙）求两直线交点。 以上三条，（甲）自然可用圆规完成，关键在（乙）、（丙）。为了弄
清这一点，我们先介绍几种可单独用圆规作出的基础作图：
【作图 1】试单独使用圆规，作点 X 关于直线 AB 的对称点 X＇。 作法：见图自明。（左图）
　　【作图 2】在圆心 O 已知的情况下，试单独使用圆规，求圆 O 的弧 AB 的 中点 M。
作法：如图，不难单独使用圆规作 ABOC 及 ABDO。 令 OA＝r，AB=m。则在 ABOC 中
∵CB2＋OA2=2（AB2＋OB2）
∴CB2＋r2=2（m2+r2） CB2=2m2＋r2
现作圆 C（CB）交圈 D（DA）于 E 点，则
∵OE2=CE2－OC2=CB2－OC2
∴OE2=2m2+r2-m2=m2+r2
再作圆 C（OE）交圆 D（OE）于 F 点
∵OF2=CF2-OC2=OE2-OC2
∴OF2=m2＋r2－m2=r2
从而，F 为圆 O 上的点。又根据图形的对称性知，F 即为 AB 的中点。
【作图 3】试单独使用圆规，求线段 a，b，c 的第四比例项 x。 作法：我们试作其中最为普遍的一种情况，其余留给读者。
取定一点 O 作圆 O（a）、圆 O（b）。在圆 O（a）上任取一点 M，并求得
另一点 N，使弦 MN＝c。任选一半径 r，作圆 M（r）和 N（r）分别交圆 O（b）
于 P、Q 点，并使 OP 与 OQ 中恰有一条位于＜MON 内部。易知
△OMN∽△OPQ
从而 OM∶OP＝MN∶PQ 即 a∶b＝c∶x
也就是说，弦 PQ 即为所求的第四比例项 x。
由此可见，单用圆规求一直线与圆的交点，现在已经没有太大困难了。 如上图，利用基础作图 1，作已知圆 O（r）的圆心 O 关于直线 AB 的对称
点 O＇。则圆 O（r）与圆 O＇（r）的交点 P、Q 即为所求的直线 AB 与已知圆 O（r）的交点。
　　不过，有一种情况似乎例外，即直线 AB 恰过 O 点，此时基础作图 1 失去 了效用。然而我们可以如同左图再利用基础作图 2，求出 MN 的中点 P（和 Q）。 不难明白，P、Q 即圆 O 与直线 AB 的交点。也就是说，我们已经解决了关键 作图（乙）。
　　再看看关键作图（丙），即如何单用圆规求两直线的交点。实际上，我 们可以把它归结为基础作图 3。
如图，我们先按基础作图 1 作 C、D 关于直线 AB 的对称点 C＇、D＇；然

后，再确定点 E，使 CC＇D＇E 为平行四边形，这是单独用圆规能够做到的。 很明显，D、D＇、E 三点共线。
令 CD 与 AB 的交点为 F。我们现在的目的，显然就是需要求出 F 点。
∵ D＇F∥EC∴ DE∶DD＇＝DD＇∶DF
　　即 DF=X 为 DE、DD＇、DC 的第四比例项，因而也能单独使用圆规作出。 接下去的任务是求圆 D（x）和圆 D＇（x）的交点 F，这已经是很容易的事了。 至此，我们已经令人信服地证明了马施罗姆关于“直尺是多余的”结论！ 最后值得一提的是：大约在公元 1928 年左右，丹麦数学家海姆斯列夫的 一个学生，在哥本哈根的一个旧书摊上，偶然发现一本旧书的复制品《欧几 里得作图》。该书出版于公元 1672 年，作者是一位名不见经传的人物 G·莫 尔。这本书不仅包含了马施罗姆的结果，而且还给出了一种不同的证明，这
一事实表明：圆规几何学的历史至少应当向前推移 125 年！

巧用直尺作图

Answer 2

取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片 http://bbs.cn.yimg.com/user_img/200704/25/aa017132971177474213_1407042501606.jpg

Answer 3

（1）在圆周上任选一点A,以A为圆心,作任意小圆与已知圆交于B、C两点.
（2）以B为圆心,调整圆规半径,在已知圆上画条弧线,该弧线与A点分别位于已知圆不同侧,
（3）不要调整圆规,再以C为圆心,同样做条弧线,与上述弧线应有交叉点
（4）根据交叉点的位置,调整圆规半径,反复重复（2）（3）步骤,直到两条弧线交点位于已知圆上,此交点就是圆的二等分点D
（5）分别以A、D为圆心做任意半径弧线,根据两条弧线交叉点的位置,调整圆规半径,反复重复,直到两条弧线交点位于已知圆上,此交点就是圆的四等分点E
（6）重复（5）,但另弧线交点位于圆的另一侧,与E相对,找到位于已知圆上的弧线交点F
（7）A、D、E、F即为四个等分点

Answer 4

先用圆规画一个圆，在圆上任意取一个点，以原半径为半径画弧，交圆与两点，再以其中一个点，以原半径为半径画弧，又交圆与两点（其中一个点与最初的一点重合），用另一点画弧，再交一点即把圆三等分。
这样把圆的周长六等分，再取其中的三等分点。

Answer 5

作法：取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F（如图）。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。
（图没法发上来，按照这样的说明应当是能够自己画出来的）