已知如图AD为△ABC上的高，E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC，FD=CD。求证:BE⊥AC

Question

已知如图AD为△ABC上的高，E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC，FD=CD。求证:BE⊥AC

Answer 1

因为AD垂直于BC，
所以，在直角三角形ACD和BDF中，BF=AC FD=CD，
所以，直角三角形BDF和ADC为相等三角形，
所以角BFD=角BCA。
又因为CBE角=角CBE，
所以三角形BDF相似于三角形BEC，
又因为AD垂直于BD
所以BE垂直于AC

Answer 2

证明：
∵AD是高
∴∠BDF=∠ADC=90º
在Rt⊿BDF和Rt⊿ADC中
BF=AC（已知），
｛
DF=CD（已知）

∴Rt⊿BDF≌Rt⊿ADC（HL）
∴∠DAC=∠DBF
∵∠DAC+∠C=90º
∴∠DBF+∠C=90º
∴∠BEC=180º-（∠DBF+∠C）=90º
即BE⊥AC

Answer 3

因为AD垂直于BC，
所以，在直角三角形ACD和BDF中，BF=AC FD=CD，
所以，直角三角形BDF和ADC为相等三形，
所以角BFD=角BCA。
又因为CBE角=角CBE，
所以三角形BDF相似于三角形BEC，
又因为AD垂直于BD
所以BE垂直于AC

Answer 4

由于∠BFD、∠FBD互余，若证BE⊥AC，就必须证得∠BFD=∠C，观察图形后可得：结合已知条件证Rt△BDF≌Rt△ADC即可．解答：解：BE⊥AC．
理由∵BF=AC，DF=DC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠CAD=∠DBF，
∴∠CAD+∠AFE=∠DBF+∠BFD=90°，
∴BE⊥AC．

Answer 5

BE⊥AC．
理由∵BF=AC，DF=DC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠CAD=∠DBF，
∴∠CAD+∠AFE=∠DBF+∠BFD=90°，
∴BE⊥AC．