半角公式tanα/2的推导是什么？

Question

如题所述

Answer 1

tana/2

=sina/2 /cosa/2

=2sina/2cosa/2 / 2(cosa/2)^2

=sina/(1+cosa)

=(1-cosa)/sina (因为(sina)^2=1-(cosa)^2=(1+cosa)(1-cosa)

正切半角公式，又称万能公式，这一组公式有四个功能：

1、将角统一为α/2。

2、将函数名称统一为tan。

3、任意实数都可以tan(α/2)的形式表达，可用正切函数换元。

4、在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。

因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。

Answer 2

半角公式 tan(α/2) 的推导可以通过三角恒等式来完成。我们首先从双倍角公式 tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ) 出发。
令 θ = α/2，那么双倍角公式变为 tan(α) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))。
现在我们将这个式子重排以解出 tan(α/2)。首先，将 tan(α) 移至等式左侧，并将 tan(α/2) 的部分留在等式右侧：
tan(α) - tan(α/2) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
接下来，利用 tan(α) = (sin(α)) / (cos(α)) 的定义，我们把等式两边的 tan(α) 转换为 sin(α) 和 cos(α) 的比值：
(sin(α) / cos(α)) - tan(α/2) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
接着，我们对等式右侧的 tan(α/2) 进行简化：
(sin(α) / cos(α)) - tan(α/2) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
(sin(α) / cos(α)) - (sin(α/2) / cos(α/2)) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
这里我们使用了半角公式 sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2] 和 cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]。根据 α 的范围，我们选择适当的正负号。
接下来，我们对等式两边进行通分，并合并分数：
[(sin(α) * cos(α/2)) - (sin(α/2) * cos(α))] / (cos(α) * cos(α/2)) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
利用三角函数和角度和差的公式进行简化：
(sin(α - α/2)) / (cos(α) * cos(α/2)) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
继续简化：
sin(α - α/2) = 2tan(α/2) * cos(α) * cos(α/2) / (1 - tan²(α/2))
再次利用角度和差的公式和三角恒等式进行化简：
sin(α/2) * cos(α/2) - cos(α/2) * sin(α/2) = 2tan(α/2) * cos(α) * cos(α/2) / (1 - tan²(α/2))
化简后可得：
0 = 2tan(α/2) * cos(α) * cos(α/2) / (1 - tan²(α/2))
由于上式中两个分式在 α/2 = kπ (k 为整数) 时等于零，我们得到：
tan(α/2) = 0
这是半角公式 tan(α/2) = 0 的一个特例。在其他情况下，半角公式 tan(α/2) 的推导是复杂且多步骤的，需要借助于三角函数的性质、三角恒等式以及角度和差的公式来完成推导过程。追答

半角公式 tan(α/2) 的推导可以通过三角恒等式来完成。我们首先从双倍角公式 tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ) 出发。
令 θ = α/2，那么双倍角公式变为 tan(α) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))。
现在我们将这个式子重排以解出 tan(α/2)。首先，将 tan(α) 移至等式左侧，并将 tan(α/2) 的部分留在等式右侧：
tan(α) - tan(α/2) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
接下来，利用 tan(α) = (sin(α)) / (cos(α)) 的定义，我们把等式两边的 tan(α) 转换为 sin(α) 和 cos(α) 的比值：
(sin(α) / cos(α)) - tan(α/2) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
接着，我们对等式右侧的 tan(α/2) 进行简化：
(sin(α) / cos(α)) - tan(α/2) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
(sin(α) / cos(α)) - (sin(α/2) / cos(α/2)) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
这里我们使用了半角公式 sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2] 和 cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]。根据 α 的范围，我们选择适当的正负号。
接下来，我们对等式两边进行通分，并合并分数：
[(sin(α) * cos(α/2)) - (sin(α/2) * cos(α))] / (cos(α) * cos(α/2)) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
利用三角函数和角度和差的公式进行简化：
(sin(α - α/2)) / (cos(α) * cos(α/2)) = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
继续简化：
sin(α - α/2) = 2tan(α/2) * cos(α) * cos(α/2) / (1 - tan²(α/2))
再次利用角度和差的公式和三角恒等式进行化简：
sin(α/2) * cos(α/2) - cos(α/2) * sin(α/2) = 2tan(α/2) * cos(α) * cos(α/2) / (1 - tan²(α/2))
化简后可得：
0 = 2tan(α/2) * cos(α) * cos(α/2) / (1 - tan²(α/2))
由于上式中两个分式在 α/2 = kπ (k 为整数) 时等于零，我们得到：
tan(α/2) = 0
这是半角公式 tan(α/2) = 0 的一个特例。在其他情况下，半角公式 tan(α/2) 的推导是复杂且多步骤的，需要借助于三角函数的性质、三角恒等式以及角度和差的公式来完成推导过程。

Answer 3

半角公式可以推导如下：

首先，我们有一个角α，我们希望求出它的半角。假设半角为β。

我们可以利用正切函数的性质，将角α表示为两个角的和，即α = β + β。

然后，我们可以应用正切函数的和差公式，即tan(α) = (tan(β) + tan(β)) / (1 - tan(β) * tan(β))。

因为β是半角，所以tan(β) = sin(β) / cos(β)。

我们可以利用正弦函数和余弦函数的关系，即sin(β) = 2 * sin(β/2) * cos(β/2) 和 cos(β) = cos²(β/2) - sin²(β/2)。

将这两个关系代入tan(α) = (tan(β) + tan(β)) / (1 - tan(β) * tan(β))中，然后整理可得：

tan(α) = (2 * sin(β/2) * cos(β/2)) / (cos²(β/2) - sin²(β/2))。

最后，我们将β替换为α/2，即β = α/2，得到半角公式：

tan(α/2) = (2 * sin(α/4) * cos(α/4)) / (cos²(α/4) - sin²(α/4))。本回答被网友采纳

Answer 4

半角公式是用来求解半角的三角函数值的公式，其中最常见的是半角正切函数的公式：tan(α/2)。
要推导出半角正切的公式，我们可以利用角平分公式和正切函数的定义。
首先，我们假设有一个角α，它的半角为α/2。然后，我们可以通过角平分公式来表示α/2的正弦函数和余弦函数：
sin(α/2) = √[(1 - cos α) / 2]
cos(α/2) = √[(1 + cos α) / 2]
接下来，我们将这两个公式代入正切函数的定义中：
tan(α/2) = sin(α/2) / cos(α/2)
将sin(α/2)和cos(α/2)的值代入，得到：
tan(α/2) = √[(1 - cos α) / 2] / √[(1 + cos α) / 2]
为了简化这个公式，我们可以将分子和分母中的根号部分合并，得到：
tan(α/2) = √[(1 - cos α) / (1 + cos α)]
这就是半角正切函数的推导公式。
需要注意的是，这个公式在α不等于0和π时是成立的。当α等于0或π时，tan(α/2)的值是无穷大，因为在这两个角上，cos α的值是0，导致分母为零。在这种情况下，需要特殊处理