线性替换不改变实二次型的类型

Question

如题所述

Answer 1

线性替换不改变实二次型的类型是错误的。

线性变换就是变量的一个重新线性组合，例如对于一个n\times m的矩阵A，就可以看成一个线性变换。

对于任何一个空间元素x=(x_1，x_2)，它有两个变量x_1，x_2，而变换Ax之后就得到了一个新的元素y，它也有两个变量y_1，y_2，y_1=3x_1+x_2，y_2=2x_1+4x_2，由此可见新得到的两个变量是原先两个变量的一个新的线性组合，这就是线性变换。

由此可见，任何一个矩阵都对应一个线性变换，并且线性变换都可以表示成矩阵的形式。所以简单的说，线性变换可以说就是一个矩阵。

线性变换可以将正定矩阵变成半正定的，甚至可以变成负定的，原因如下：

对于一个正定矩阵M，显然可逆，那么任意取一个矩阵N，无论它是不是正定的，我总可以找到一个矩阵A=NM^{-1}，使得AM=N，由于N可以是半正定的，也可以是负定的，所以存在一种线性变换A=NM^{-1}，使得正定矩阵M变为任意型的矩阵N。

对于非退化的线性变换，线性变换对应的矩阵满秩，所以不可能将正定矩阵变成半正定或者半负定的，但是可能变成负定的。