求x^2+y的二重积分，范围是x^2+y^2=4,0<=z<=1,那个0＜＝z＜=1有什么意义

Question

如题所述

Answer 1

x^2+y的二重积分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来解决。

被积函数可以看成根号下(x^2+y^2)和y两个函数，前者利用极坐标解决，后者由于y是奇函数，而积分区域为x^2+y^2=4和(x+1)^2+y^2=1所围成关于x轴对称，故二重积分y=0。

二重积分范围是x^2+y^2=4,0<=z<=1,那个0＜＝z＜=1意义是：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

0＜＝z＜=1是积分区域D。

将z=x^2+y作为被积函数

V = ∫∫ x^2+yds 积分区域D由 x+y=4,x=0,y=0,z=0,确定

=∫ dy ∫ x^2+y dx (积分上下限：x下限0,上限4-y；y下限0,上限4)

=∫ 2(y^3-32y+64)/3dy

= (y^4-64y^2+256y)/6 | (y下限0,上限4)

= 256/6

=128/3

扩展资料

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

积分的线性性质：

性质1、（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。

性质2、（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

性质3、设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积。