如何证明该函数有界性

Question

f（x）=xcosx，定义域为R

Answer 1

设函数f(x)的定义域为D，f(x)在集合D上有定义。

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

举例

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。

性质

无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。

扩展资料

关于函数的有界性，应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的，如

参考资料来源：百度百科-有界性

参考资料来源：百度百科-函数的有界性

Answer 2

有界！ 必要性： 反证法，假设f(x)在X上没有上界或下界。则：存在某数a，当x->a时，f(a)->∞，则|f(a)|->+∞，则不存在一个A，使得任意的x∈X都有|f(x)|<A，这与函数f(x)在X上有界矛盾。所以，假设不成立，f(x)...

Answer 3

楼上的回答完全错误而且毫无意义。

正解如下：

显然f（x）是一个无界函数。

对于x=2kπ, k∈Z, 均有cosx=1

所以f(2kπ)=2kπ, 令k→+∞ ,则f(2kπ)→+∞

令k→-∞ ,则f(2kπ)→-∞

因此f(x)是无界函数，既没有上限也没有下限。本回答被提问者采纳