写出函数f(x)=(a^2-x^2)^(1/2)/(|x+a|+a)为奇函数的充要条件并证明结论

Question

写出函数f(x)=(a^2-x^2)^(1/2)/(|x+a|+a)为奇函数的充要条件并证明结论

Answer 1

解：
奇函数意即-f(x)=f(-x)

代入得-√(a²-x²)/(|x+a|+a)=√(a²-x²)/(|-x+a|+a)

如果定义域将x限制在{-a,a},则此等式已经成立，已经是奇函数了；

若x是任意值，√(a²-x²)不会恒等于0，约去

-|x+a|-a=|x-a|+a

-2a=|x-a|+|x+a|

分析，右边的等式只有四种情况：

（1）2x=-2a,x=-a,即定义域被限制在了{-a},前面已经讨论过了；

（2）-2x=-2a,x=a,前面也讨论过了；

（3）2a=-2a,a=0,代入函数式有√（-x²）/|x|,此式无任何定义域，舍去；

（4）-2a=-2a,只需将定义域限制在[a,-a]即可，而这显然要求a≤0,而

a=0已经讨论过不行，所以只能有a＜0;另外，当x=0时，分母为

|a|+a=-a+a=0,舍去

∴充要条件为a＜0,且定义域为[a,0) ∪ (0,-a]