定积分是什么？

Question

如题所述

Answer 1

定积分是微积分中的一个概念，它是对函数在一个区间上的积分值进行求解的过程。定积分的概念是由数学家 Newton 和 Leibniz 独立发展而成的，它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学和经济学等。

定积分的表示形式如下：

定积分表示了函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的累积效应，或者说是函数曲线与 x 轴之间的面积。通过定积分，我们可以计算函数在给定区间上的总变化量、总面积、总积累等。

具体而言，定积分可以通过求取函数在区间上的无穷小微元的面积（也就是微积分中的微元）来定义。这可以通过极限的方法，将区间划分成无穷小的子区间，计算每个子区间上的函数值与子区间宽度的乘积，然后取极限得到定积分。

Answer 2

定积分 （definite integral）
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

Answer 3

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
1.定积分是特殊和式的极限，因此它是一个数，这与不定积分不同;
2.特殊和式，与区间的分割、任意点的取法有关，但其极限存在要 求与分法、取法无关，因此定积分仅与被积函数和积分区间有关， 与积分变量用什么字母表示无关;