如何求函数关于x的偏导数

Question

如题所述

Answer 1

对于一个多元函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，我们可以对其中的任意一个自变量 $x_i$ 求其偏导数，表示在其它自变量保持不变的情况下，函数关于 $x_i$ 的变化率。

具体来说，求函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 关于自变量 $x_i$ 的偏导数，可以先将 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 看作只关于 $x_i$ 的函数 $g(x_i)$，然后对 $g(x_i)$ 求普通的导数 $g'(x_i)$，即可得到 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 关于 $x_i$ 的偏导数。表示为：

这里 $\Delta x_i$ 表示 $x_i$ 的微小变化量，$\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 关于 $x_i$ 的偏导数。

需要注意的是，在求偏导数时，其它自变量 $x_j$ （$j \neq i$）要视为常数对待，即假定它们的值不变，只有 $x_i$ 发生微小变化。

如果 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 是一个可微的函数，那么它关于 $x_i$ 的偏导数存在，且可以使用求导法则求出。如果 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 不可微，则偏导数可能不存在或不唯一。

Answer 2

1、例题：如图片所示。

2、方程的左右两边同时求出关于x的偏导数。

3、求出u关于x的导数，期中u为符合函数，u=f(x,y,z)，x=x，y=0*x，z=（x，y）。

4、将z关于x的导数带入u关于x的导数中。

5、最后将（x，y）带入方程中解出z为1或者2，带入式子中得到结果。