概率论问题？

Question

求:若取得零件是次品，它由第一台加工的概率

Answer 1

生活中我们对独立的一般理解是不依靠他人和不受其它因素影响。把这种理解加以推广，概率论中随机事件A和B相互独立是指其中一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。

按照古典概率论，随机试验的基本结果组成样本空间；每个基本结果为1个样本点，各个样本点（基本事件）出现的概率相等；随机事件是样本点的集合；概率是随机事件A所包含的样本点数目占样本空间上全部样本点的比例。

我在对另一个相关话题 为什么P(A|B) = P(A)可以推出事件A和B相互独立？的回答已经列举了随机事件A和B独立，即随机事件B的发生不影响随机事件A发生概率的两种情况：

（1）随机事件B的发生不影响随机事件A所在的样本空间；或（2）随机事件B的发生缩小了随机事件A所在的样本空间，但在新的样本空间中随机事件A包含的样本点数目等比例缩小。

其中情况（1）比较好理解。而题主的两个例子中随机事件B的发生都缩小了随机事件A所在的样本空间，这时要验证随机事件A发生的概率在缩小后的样本空间上发生的概率是否改变。

第一个例子中，样本空间包含3， 4， 5和60共四个基本样本点，事件A=“是3的倍数”包含3和60这两个基本样本点，所以事件A发生的概率是2/4=0.5。已知事件B=“是4的倍数”发生，由于事件B包含4和60这两个基本样本点，我们知道3和5这两个样本点是不可能的结果，因此缩小后的样本空间只包含4和60这两个样本点。而在这个缩小后的样本空间中事件A只包含60这一个基本样本点，事件A发生的概率保持0.5不变。在这种情况下随机事件A和B是相互独立的。

增加一个数1 后，新的样本空间包含1， 3，4，5和60共五个基本样本点，事件A仍然包含3和60这两个基本点，因此事件A发生的概率变为2/5=0.4。当事件B发生时，可以排除1，3和5这三个样本点，所以缩小后的样本空间只包含4和60这两个样本点。由于在这个缩小后的样本空间中事件A只包含60这一个基本样本点，事件A发生的概率不再是0.4，而是1/2=0.5，也就是说随机事件B的发生影响了随机事件A发生的概率，因此在这种情况下随机事件A和B就不再是相互独立的了。

Answer 2

设事件A1,A2,B1,B2
A1:由第一台机床加工，A2：由第二台机床加工
B1: 是正品，B2：是次品
按题意，需求P(A1|B2)
根据贝叶斯公式
P(A1|B2)= P(B2|A1)P(A1)/P(B2)
=P(B2|A1)P(A1)/[P(B2|A1)P(A1)+P(B2|A2)P(A2)]
=0.03*(2/3)/(0.03*2/3+0.06*1/3)=50%
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