n阶实对称幂等矩阵A（即A2=A）它的秩为r,求标准型

如题所述

第1个回答 2019-11-29

设a是A的特征值
则
a^2-a
是
A^2-A
的特征值
因为
A^2-A=0
所以
a^2-a
=
0
所以
a=1
或
a=0
即A的特征值只能是1
或
0.
又因为A为实对称矩阵,
所以A必可正交对角化
即存在正交矩阵T满足
T^-1AT
=
diag(a1,a2,....,an)
其中ai是A的特征值.
由上知
ai
为1或0
故有
T^-1AT
=
diag(1,...,1,0,...,0).
由
r(A)=r,
所以
diag(1,...,1,0,...,0)
中1的个数为r.
所以
二次型的标准形为
y1^2+...+yr^2

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