在物理学中,速度是位移随时间的变化率,反映了物体运动的快慢程度;在一些物理公式中,我们经常看见“速度平方”这个物理量,比如:
动能公式:Ek=(1/2)mv^2;
管道阻力公式:R=(λ/D)*(v^2*ρ/2g);
伯努利方程:P+(1/2)ρv^2+ρgh=C;
空气阻力公式:F=(1/2)CρSV^2
洛伦兹因子γ=1/√(1-v^2/c^2);
……
要想知道速度平方的物理意义,我们先来看牛顿力学的动能公式推导过程:
可以看见,在牛顿第二定律的前提下,速度平方是力对位移积分的必然结果,在积分常数C0等于零的情况下, 物体运动速度的平方与物体的动能成正比例关系,所以我们可以说:速度平方直接反应了物体动能的大小。
我们知道,牛顿力学是相对论力学在低速下的近似,我们也可以从相对论角度来看速度平方的物理意义,比如下面是物体相对论能量的展开式:
可以看出,在相对论力学中,速度平方出现在物体动能量的一阶量中,速度的四次方出现在二阶量中……,当物体运动速度远小于光速时,物体动能就近似等于mv^2/2,也就是牛顿力学中的动能公式。
于是我们就可以回答题目的问题了:速度平方是物体动能一阶量中的唯一变量,反应了物体动能的大小,当物体运动速度远小于光速时,速度平方与物体动能近似成正比。
在流体力学中,基本是不会考虑相对论效应的,之所以很多流体阻力公式出现速度平方,是因为很多情况下流体阻力与物体动能呈一次线性关系,比如空气阻力就和物体运动速度的平方成正比。
很有趣的问题。
0)没有严格的物理意义
在严格意义上,速度的平方没有有效定义出来的意义。但是,我们可以用直观的方式,甚至用比喻的方式,在头脑中建立其具象意义。
这样的好处对由此推导的复杂概念将会有深刻的洞察力。更重要的一点,当赋予‘速度的平方’以意思,解题应用公式的时候,便能知其然知其所以然,更加得心应手。
言归正传,我们采用逐步拆解的方法,要知道‘速度的平方’有什么物理意义,我们先来看看速度(v)的物理意思。
1)速度v的物理意义
速度是描述运动快慢(和运动方向)的物理量,等于位移与时间的比值。这个定义对我们理解‘速度的平方’无甚帮助。
2)速度在动量中的意义
既然速度的书面定义对我们的问题帮助不大。那么我们尝试构建一座桥梁,先来看看速度在动量中的含义。
动量的公式:
p = mv; p/m = v
其中m质量为定量,也就是说当物体的质量既定,速度决定起动量。
当质量为1kg的时候,p = v
由此,可以理解为速度(v)与动量有关,是动量的决定因素。更进一步,速度是质量为1kg的物体的动量(在速度v下)。
3)速度在动能中的意义
动量公式,只是我们到达动能公式的桥梁:
动能公式为:
E=1/2(m*v²)
由此,速度的平方 v^2=2E/m
按照分析动量类似的逻辑,m(质量)是既定的,v^2便是动能的决定因素,v^2与东呢过有关。
更进一步,当质量为1kg的时候
v²= 2E
由此可以将‘速度的平方’理解为在速度v下,v²的含义是1kg物体的动能的双倍。
4)结论
结论呼之欲出,‘速度的平方’的物理含义1kg物体的动能的两倍。
我们采用的基本逻辑就是应用单位1(kg)去理解一个物理量的物理意义。
这样理解表面看起来有些牵强,但是做题的时候特别管用。
当在题目中看到‘速度的平方’立刻下意识的反应这是11kg质量的动能,下一步只需关注质量多少就可以了。从而帮助提高审题和解题的效率。
5)用直觉理解爱因斯坦的能量公式
宇宙间最伟大的,最优美的能量公式为:
E=mc²
c是光速,
应用我们在第四步的结论来来理解c²,是1kg物质的极限动能,那么质量为m的物体呢?
自然就是E=mc²。
上述过程当然不是能量公式的证明,而只是从直觉上理解。或许爱因斯坦正是先有了这样的直觉理解,随手写下这个公式,然后再展开严格的逻辑证明。
正所谓‘大胆猜猜,小心验证’。
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