反函数求导法则,并推导一下二阶导数公式

如题所述

如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0,那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导,且

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为:反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例: 

设x=siny,y∈[−π2,π2]x=sin⁡y,y∈[−π2,π2]为直接导数,则y=arcsinxy=arcsin⁡x是它的反函数,求反函数的导数. 

解:函数x=sinyx=sin⁡y在区间内单调可导,f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos⁡y≠0 

因此,由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′

(arcsin⁡x)′=1(sin⁡y)′

=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

=1cos⁡y=11−sin2⁡y=11−x2

如果在求解过程中遇到不好直接求出的三角函数,可以使用画三角形法求解

 

,则

 

,应视为y的函数 [1] 

=

 

(定义)

=

=

 

(复合函数求导,x是中间变量)

=

=

所以,反函数的二阶导数不是原函数二阶导数的倒数。

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第1个回答  2021-09-18

简单计算一下即可,答案如图所示

第2个回答  2017-01-04


如图

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第3个回答  2019-12-21
y=f(x) 要求d^2x/dy^2 dx/dy=1/(dy/dx)=1/y' d^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy =-y''/y'^2*1/y' =-y''/y'^3