数论四大定理的费马小定理

Question

如题所述

Answer 1

假如p是质数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。
若p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
证明：
因为p是质数，且（a，p)=1，所以φ(p)=p-1。由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1（mod p）。证毕。对于该式又有a^p ≡a（mod p），所以，费马小定理的另一种表述为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^p ≡a（mod p）。

Answer 2

任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1，且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。设 a 是任意一个整数，考虑以它为底的几何级数即 a 的各次方幂构成的数列：

a, a², a³, a⁴, a⁵, a⁶, a⁷,  .....费马断言，给定任何一个质数 p ，在上述数列中一定能找到一个数 aⁿ，它减去 1 后是 p 的倍数，并且 n 是 p - 1 的因子。