（2014?潍坊模拟）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，

Question

（2014?潍坊模拟）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x-y|≤5}，事件F={|x-y|＞15}，求P（E∪F）．

Answer 1

（Ⅰ）第六组的频率为

4

50

＝0.08，
所以第七组的频率为1-0.08-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06；
（Ⅱ）身高在第一组[155，160）的频率为0.008×5=0.04，
身高在第二组[160，165）的频率为0.016×5=0.08，
身高在第三组[165，170）的频率为0.04×5=0.2，
身高在第四组[170，175）的频率为0.04×5=0.2，
由于0.04+0.08+0.2=0.32＜0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52＞0.5
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175
由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5得m=174.5
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5
由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18，
所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×800=144人． 
（Ⅲ）第六组[180，185）的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190，195]的人数为2人，设为A，B，
则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，
因事件E={|x-y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，故P(E)＝

7

15

． 
由于|x-y|_max=195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，P（F）=0
由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)＝P(E)+P(F)＝

7

15

．