对x求偏导数,就是将y看作常数
z=arctany/x
那么得到
∂z/∂x=1/(1+y²/x²)*∂(y/x)/∂x
=1/(1+y²/x²)*(-y/x²)
=-y/(x²+y²)
于是继续求偏导数得到
∂²z/∂x²=∂[-y/(x²+y²)]/∂x
=y/(x²+y²)²*∂(x²+y²)/∂x
=y/(x²+y²)²*2x
=2xy/(x²+y²)²
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
对x求偏导数,就是将y看作常数
z=arctany/x
那么得到
∂z/∂x=1/(1+y²/x²)*∂(y/x)/∂x
=1/(1+y²/x²)*(-y/x²)
=-y/(x²+y²)
于是继续求偏导数得到
∂²z/∂x²=∂[-y/(x²+y²)]/∂x
=y/(x²+y²)²*∂(x²+y²)/∂x
=y/(x²+y²)²*2x
=2xy/(x²+y²)²
扩展资料
二阶混合偏导数意义:
对于一个多项式函数来说,指的就是xy项的系数;对于一般的光滑函数来说,指的是其二阶逼近中xy项的系数。
一定程度上(在二阶逼近意义上)指的是这个函数可以表示成:f(x,y)=g(x)+h(y)这种形式的障碍。如果一个函数可以表达成这种形式那么混合偏导数一定是0。
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