频谱定理

Question

如题所述

Answer 1

通过傅立叶正变换可以求一个时间信号f(t)的频谱F(ω)，对F(ω)进行反变换可以确定其对应的时间信号f(t)，它们具有单值对应关系。它们之间的内在关系称做频谱定理。

1.线性性质

既满足叠加性质又满足比例性质的关系称之为满足线性关系。

设

则

推广到多项求和仍然成立。

2.对称性

设

则

证明

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将上式中的ω换成t，t换成ω，则

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说明:若f(t)的傅立叶变换为F(ω)，则F(t)的傅立叶变换为2πf(-ω)，除差一系数2π外，具有相同的形式，但横坐标轴反转。对于实偶函数，由于f(t)=f(-t)，其频谱也是实偶函数F(ω)=F(-ω)，所以对于实偶函数，若

则

例已知方波脉冲的频谱为 ，试求低通滤波器的频谱函数F_ω0(ω)的时间特性F(t)。

由于方波脉冲函数是偶函数，根据对称性质有， ，见图3-3-1。

图3-3-1 方波函数傅氏变换的对称性质

3.展缩性质

若时间信号f(t)的波形沿时间轴压缩a倍，变为f(at)，则f(at)的谱比f(t)的谱F(ω)沿频率轴扩大a倍，而其幅度减小a倍，见图3-3-2。

即

则

或

式中a为实数，

图3-3-2 时间展缩性质

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当a<0时，f(at)的频谱为

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由时间展缩性质，信号愈宽，所占频带范围愈窄;信号愈窄，所占频带范围愈宽。

4.延时性质

设

则

证明f(t-t₀)的频谱

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只要把上式中的t₀换成-t₀，就可得到f(t+t₀)的频谱为

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由于

所以

说明信号延迟t₀以后，其振幅谱保持不变，而相位谱各分量相应滞后一个相角ωt₀。ωt₀是ω的线性函数，称为线性相位移动，以-ωt₀表示，负号表示滞后。一个波形延迟时间t₀后，波形保持不变，说明各频率分量都相应延迟时间t₀，这样其相角就延迟了ωt₀。

5.频移

若信号f(t)的频谱为F(ω)，即f(t)F(ω)，则

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说明时间函数f(t)乘以一个复指数函数e^jω0t后的信号的频谱将沿频率轴正方向平移ω₀;若时间函数f(t)乘以e^-iω0t，则其频谱将沿频率轴负方向平移ω₀，即

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综合两式

利用平移定理，求一个被高频信号调制的振荡信号的谱时，可以直接由调制信号的谱通过频移得到。

6.时域微分

若信号f(t)的频谱为F(ω)，即f(t)F(ω)，

则

说明，对f(t)微分n次后的信号的频谱函数等于原信号频谱函数的F(ω)乘以因子(jω)ⁿ

证明根据傅立叶变换公式

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所以

因为

推广到n阶，则有

利用时域微分性质，可根据时间函数的谱求其各阶导数的谱。

例如δ(t)1，根据微分定理

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7.时域积分

已知

则

证明因为

又

所以

又因为

比较以上两式的右端

即

8.频域微分

设时间函数

则

证明因为

所以

推广到n阶

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9.共轭性质

设时间函数f(t)F(ω)其中f(t)为复时间函数，即f(t)=f₁(t)+if₂(t)，则

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所以

说明:若f(t)是实时间函数，则f(t)=f^*(t)，于是F(ω)=F^*(-ω)或者F(-ω)=F^*(ω)即F(ω)是共轭对称的。因此，对一个实时间函数f(t)，它的频谱函数的实部R(ω)是偶对称的，即R(-ω)=R(ω);其虚部是奇对称的，即X(-ω)=-X(ω)。

10.翻转性质

设连续时间函数为f(t)，则f(-t)为f(t)的翻转信号。

翻转定理:设信号f(t)的频谱为F(ω)，则f(-t)的频谱为F(-ω)

证明:设f(t)F(ω)，

则f(-t)的频谱为

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11.时域褶积

设时间函数f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，f₁(t)和f₂(t)褶积积分的频谱为F₁(ω)与F₂(ω)的乘积。

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证明

利用延时定理

所以

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12.频域褶积

设时间函数f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，f₁(t)和f₂(t)乘积的频谱为F₁(ω)与F₂(ω)的褶积积分的1/2π倍。即

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13.乘积性质

设时间函数f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，则f₁(t)·f₂(t)对所有时间积分就等于它们的频谱函数F₁(ω)本身和F₂(ω)的共轭函数(或F(ω)本身和F(ω)的共轭函数)对所有频率的积分。即

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证明

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由于e^iωt=(e^-iωt)^*，而f₁(t)是实时间函数，所以

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于是

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同理

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14.巴什瓦等式

设时间函数

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或写成

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称为巴什瓦等式。等式左边表示的是信号的总能量，该等式表明，信号的总能量可用其频谱的共轭乘积对所有的频率积分得到。F^*₁(ω)F₂(ω)称为互能谱密度，而|F(ω)^|2称为能谱密度，分别表示如下

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能谱密度

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能谱密度又称为功率谱。显然信号的功率谱是偶函数，S(ω)=S(-ω)，它只与信号的振幅谱有关，而与信号的相位谱无关。说明振幅谱相同而相位谱不同的信号具有相同的功率谱。