可测集是什么？

Question

如题所述

Answer 1

Caratheodory条件是集合Lesbesgue可测的等价命题，
在对于一般的集族定义测度时直接将Caratheodory条件作为集合可测的定义
在实数集的全体子集P上定义外测度m*
（R的子集E的外测度m*(E)由覆盖E的区间族的长度和的下确界定义）
称R的子集E为Lesbesgue可测的，若
任取e>0，存在开集G，闭集F，使得
F包含于E包含于G，且m*(G\F)<e
也就是说可测集是可以被开集和闭集无限逼近的集合
称E满足Caratheodory条件，若
对任意R的子集A有
m*(A)=m*(A交E)+m*(A\E)
满足Caratheodory条件的集合可以没有损失的分割R的任意子集
一般地，对于定义了外侧度m*的集族U，
称U中的集合E为可测的，若E满足Caratheodory条件