数列极限定义的证明

Question

如题所述

Answer 1

以下是关于“数列极限定义的证明”的讲解：

数列极限的定义可以描述为：如果一个数列的项数n趋于无穷大时，数列的项值Xn逼近于某个固定值A，那么这个固定值A就是该数列的极限。为了证明数列极限的定义，我们可以从两个方面来进行阐述：收敛性和极限。

首先，我们证明数列的收敛性。假设数列的每一项Xn都可以表示为实数，而且当n趋于无穷大时，Xn的值越来越接近一个固定的值A。为了证明这个数列是收敛的，我们选取任意的正数epsilon，用来表示数列项与极限A之间的距离。

然后我们通过让n趋于无穷大来证明存在一个正整数N，使得当n大于N时，Xn与A之间的距离小于epsilon。因为当n越大，Xn越接近A，所以我们只需要让n大于N，就可以保证Xn与A之间的距离小于epsilon。因此，数列是收敛的。

接下来，我们证明数列的极限。我们已经证明了数列是收敛的，因此它必然存在一个极限值。现在我们选取任意的正数epsilon，用来表示数列项与极限值A之间的距离。

因为数列是收敛的，所以我们存在一个正整数N，使得当n大于N时，Xn与A之间的距离小于epsilon。这意味着当n大于N时，Xn与A之间的距离小于我们选取的正数epsilon。因此，数列的极限值就是A。

综上所述，我们已经证明了数列极限的定义。通过上述两个方面的证明，我们证明了数列的收敛性和极限值的存在性。因此，我们可以得出结论：当一个数列的项数n趋于无穷大时，该数列的项值Xn逼近于某个固定值A，这个固定值A就是该数列的极限。