2012年10月15日，奥地利著名极限运动员鲍姆加特纳乘坐热气球从距地面高度约39km的高空跳下，并成功着陆．

Question

2012年10月15日，奥地利著名极限运动员鲍姆加特纳乘坐热气球从距地面高度约39km的高空跳下，并成功着陆．如图所示．该热气球由太空舱，绳索和气囊三部分组成．气囊与太空舱之间利用绳索连接．在加热过程中气囊中气体受热膨胀．密度变小，一部分气体逸出，当热气球总重力小于浮力时便开始上升．假定鲍姆加特纳是在竖直方向上运动的，并经历了以下几个运动阶段：他首先乘坐热气球从地面开始加速上升到离地高h 1 =1km处，此阶段绳索对太空舱向上的总拉力恒为F 1 =3002.5N；接着再匀速上升到离地面高h 2 =38km处，此阶段绳索对太空舱向上的总拉力恒为F 2 =3000N；然后再减速上升到离地高h 3 =39km处，此阶段绳索对太空舱向上的总拉力恒为F 3 =2997.5N；他在上升过程中共用时t 1 =1×10 4 s，在离地高39km处立即跳下．自由下落t 2 =4min后速度已超过音速，最后打开降落伞，又用时t 3 =16min又安全到达地面．忽略髙度对g的影响，取g=10N/kg．求： ①从离开地面到安全返回地面的整个过程中，运动员的平均速度是多少？（结果取整数）②在热气球上升过程中．绳索对太空舱向上的总拉力做功的平均功率是多少？③当热气球上升到离地高20km处．若热气球总质量（含气囊里面气体）m=7.18×10 4 kg，整个热气球的体积V=8×10 5 m 3 ，整个热气球受到的空气阻力f=2×10 3 N，不考虑气流（或风） 对热气球的影响．则此高度处的空气密度是多少？

Answer 1

①7m/s；②1.17×10 4 W；③0.09kg/m 3 ．

试题分析：①从离开地面到安全返回地面的过程中，运动员的总路程为s=2h 3 =2×39km=78km=7.8×10 4 m； 从离开地面到安全返回地面的过程中，运动员的总时间t=t 1 +t 2 +t 3 =1×10 4 s+4×60s+16×60s=1.12×10 4 s； 从离开地面到安全返回地面的过程中，运动员的平均速度为v= =7m/s． ②在热气球上升阶段，绳索对太空舱向上的总拉力做功有三个阶段： 第一阶段：W 1 =F 1 h 1 =3002.5N×1000m=3.0025×10 6 J， 第二阶段：W 2 =F 2 （h 2 ﹣h 1 ）=3000N×（38000m﹣1000m）=1.11×10 8 J， 第三阶段：W 3 =F 3 （h 3 ﹣h 2 ）=2997.5N×（39000m﹣38000m）=2.9975×10 6 J； 上升过程中拉力共做功W=W 1 +W 2 +W 3 =3.0025×10 6 J+1.11×10 8 J+2.9975×10 6 J=1.17×10 8 J， 在整个上升过程中总拉力的平均功率为P= =1.17×10 4 W； ③当热气球上升到离地高20km处．热气球的总重力为G=mg=7.18×10 4 kg×10N/kg=7.18×10 5 N， 此时热球匀速上升，受平衡力作用，热气球受到的空气浮力为F 浮 =G+f=7.18×10 5 N+2×10 3 N=7.2×10 5 N， 而F 浮 =ρ 空气 gV 排 ，得空气的密度为ρ 空气 = =0.09kg/m 3 ．