1、矩阵等价
矩阵A与B等价必须具备的两个条件：
(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)；
(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q， 使B= PAQ。
2、矩阵A与B合同
必须同时具备的两个条件：
(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵；
(2) 存在n阶矩阵P: P^TAP= B。
3、矩阵A与B相似
必须同时具备两个条件：
(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵；
(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP= B。
扩展资料
矩阵的相似，实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是在不同基底下的坐标表示。相似矩阵的特征值相同，秩也相同，方阵对应的行列式也相同。
判断两个矩阵是否相似，一般的题型是看两个矩阵能否相似于同一对角阵。同时两个矩阵相似，其对应的以矩阵为变量的两个函数也相似。
矩阵的合同是在二次型的背景下提出来的，理解合同就针对二次型里的对称阵，给一个二次型，我们可以写成矩阵表达形式，做一系列的可逆变换，新得到的表示二次型的矩阵，就是与原矩阵合同的新矩阵。
对于对称阵，两矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同，也就是正特征值的个数，负特征值的个数相同。
矩阵相似与否和合同与否没有直接关系，但在我们的考试当中，一般考察对称阵，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样。
参考资料来源：百度百科-合同矩阵
参考资料来源：百度百科-相似矩阵
参考资料来源：百度百科-等价矩阵