什么叫等差数列

Question

如题所述

Answer 1

关于等差数列，我们要注意的有以下几个问题：什么是数列，什么是等差数列，等差数列的发展历史，等差数列的常见性质，与等比数列的对比，等等。下面我们来逐一进行解说。

什么是数列

数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。著名的数列有斐波那契数列，卡特兰数等。

换句话说，首先，数列是一种函数，而不是一种集合。虽然数列可以用类似集合的方式表示（如{1,2,3,4}），但是这与数集{1,2,3,4}是有本质区别的。数列与集合的区别表现在：

①数列必须满足有序性。比如说集合{1,2,3,4}，它表示n=1时，an=1；n=2时，an=2，以此类推。所以它与{1,3,2,4}是两个不同的集合，二者虽然定义域值域都相同，但是对应关系不同。而{1,2,3,4}与{1,3,2,4}是同一个集合。

②数列不必满足互异性。我们知道集合的元素必须满足互异性，即任意两个元素不能够重复，而数列中的项与项之间可以相等。所以在数列中，摇摆数列，周期数列，常数列都是被允许的。如数列an=sin(nπ/2)就是一个典型的周期数列。因为数列本质上是函数，函数的因变量取值可以相等，所以数列的不同项也可以相等。

但是数列却又不同于一般的函数：

①数列的定义域只能是正整数。n可以是1,2,3,4,5，但是不可以是0，-1，-2，也不可以是0.5,1.8这样的数，而函数的定义域没有这样的限制。

②数列在几何上，表现为点集，所以数列不具有连续性，而我们接触到的函数多为连续函数，在几何上体现为曲线。

最著名的数列莫过于斐波那契数列：1,1,2,3,5,8……，即每一项都等于前两项之和。这个数列完美诠释了数列的有序性和每一项之间的可重复性。当然，这个数列是有通项公式的。


什么是等差数列

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用AP表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)d。首项a1=1，公差d=2。（以上n均属于正整数）

这里要注意的几个问题是：

①等差数列中，一定是后项与前项的差为常数，而不是后项与前项或前项与后项的差为常数。如，1,3,1,3,1，就不是等差数列，而是摇摆数列。

②等差数列是可以用公式表示的数列。

③等差数列的公差可以为0，当且仅当公差为0时，数列不具有单调性。其他情况下，等差数列都具有单调性。


等差数列的发展历史

①其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了S(n)=n(a1+an)/2的求和公式。

②西方最著名的等差数列莫过于高斯数列。7岁那年，高斯第一次上学了。头两年没有什么特殊的事情。1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长也起了一定作用。高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案5050，运用的就是等差数列求和公式，Sn=[n(a1+an)]/2。


等差数列的常见性质

①等差数列的前n项和求和公式：Sn=na1+[n(n-1)d]/2或Sn=[n(a1+an)]/2。

②m+n=p+q时，am+an=ap+aq。


③等差数列的前n项和可以写成Sn=an²+bn的形式。

④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然成等差数列，公差为n²d。

⑤两个等差数列{am}与{bm}，其前n项和分别为Sn和Tn，则有am/bm=S(2m-1)/T(2m-1)。

⑥项数n=(an-a1)/d+1，an=a1+(n-1)d。

⑦等差中项：若a,b,c满足2b=a+c,则称b为a和c的等差中项。


与等比数列的对比

①等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1·q^(n-1)。

②等差数列的求和公式为Sn=na1+[n(n-1)d]，等比数列求和公式在q≠1时为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。


③等差数列的公差d没有限制，等比数列的公比q不能为0，而且公比q为1时，数列实际上成为常数列（非零常数列也是等差数列和等比数列的唯一交集），此时不能适用一般的等比数列前n项和公式，而应当直接用Sn=na1。

④等比中项：如果a,b,c满足b²=ac，则b为a,c的等比中项。显然，两个同号的数的等比中项有两个，两个异号的数没有等比中项。而任意两个实数都有等差中项。

⑤下标和公式：对于等差数列，m+n=p+q时，am+an=ap+aq；对于等比数列，若m+m=p+q,则am·an=ap·aq。

Answer 2

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的求和公式，也叫做高斯定律。
1785年，8岁的高斯在德国农村的一所小学里念一年级。
学校的老师是城里来的。他有一个偏见，总觉得农村的孩子不如城市的孩子聪明伶俐。不过，他对孩子们的学习，还是严格要求的。他最讨厌在课堂上不专心听讲、爱做小动作的学生，常常用鞭子敲打他们。孩子们爱听他的课，因为他经常讲一些非常有趣的东西。
有一天，他出了一道算术题。他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100等于多少？谁算不出来，就不准回家吃饭。” 说完，他就坐在椅子上，用目光巡视着趴在桌上演算的学生。
不到一分钟的工夫，小高斯站了起来，手里举着草稿纸，说：“老师，我算出来了......”
没等小高斯说完，老师就不耐烦地说：“不对！重新再算！”
小高斯很快地检查了一遍，高声说：“老师，没错！”说着走下座位，把草稿纸伸到老师面前。
老师低头一看，只见上面端端正正地写着“5050”，不禁大吃一惊。他简直不敢相信，这样复杂的数学题，一个8岁的孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数。要知道，他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。就问小高斯：“你是怎么算的？”小高斯回答说：“我并不是按照1、2、3的次序一个一个往上加的。老师，您看，一头一尾的两个数的和都是一样的：1加100是101，2加99是101，3加98也是101......一前一后的数相加，一共有50个101，101乘50，就等于5050。”
小高斯的回答使老师感到吃惊。因为他还是第一次知道这种算法。他惊喜地看着小高斯，好像刚刚才认识这个穿着破烂不堪的，砌转工人的儿子。不久，老师专门买了一本数学书送给小高斯，鼓励他继续努力，还把小高斯推荐给教育当局，使他得到免费教育的待遇。后来，小高斯成了世界著名的数学家。人们为了纪念他，把他的这种计算方法称为“高斯定律”。

Answer 3

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

比如     1 3 5 7 9 11 13 15 17

这就是个等差数列，其中首相是1 末项是17 项数是9 公差是2

在等差数列中我们常用到的公式有：

1、已知等差数列的首项、末项以及项数，求数列的和

则需要公式：数列和=[首项+末项）×项数]/2

2、已知首项、末项、公差，求项数

则需要公式：项数=（末项-首项）/公差+1

等差数列的简单求和公式是德国数学家高斯发现的

根据上面的举例进行配项，

第一项和倒数第一项求和1+17=18

第二项和倒数第二项求和3+15=18

第三项和倒数第三项求和5+13=18

依此类推7+11=18

最后中间一项9=18/2

当总的项数为偶数时所有项数配项之后都是首项和末项的和

当总项数为奇数时，所有项数配项之后都是中间那一项的两倍（我们举例中9是中间那一项，9×2=18，正好是首项加末项和的1/2）

由此推导出等差数列求和公式=[首项+末项）×项数]/2

了解等差数列其他公式推导过程

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有兴趣进一步聊解高斯

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Answer 4

等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均属于正整数。

1.日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按照等差数列进行分级。
若为等差数列，且有ap=q,aq=p.则a(p+q)＝－（p+q)。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。
2.按揭货款中的数列问题
随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。

Answer 5

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
比如这个数列
1 3 5 7 9 11 就是等差数列
而
1 2 3 5 6 7 8 就不是等差数列
望采纳