【求解答案】x≈1.6649
【求解思路】
1、令CN=y1,NM=y2,则可用勾股定理，得到
(2x)²+y1²=4² ①
(2x)²+y2²=(5-x)² ②
2、根据基本三角函数的定义，求出∠ABC ③
3、运用余弦定理，得到 (y1+y2)²=3²+x²-6xcos∠ABC ④
4、求解式 ①、式②、式③和式④的方程组，得到x的方程
5、用二分法，求出x的数值解
【求解过程】
【本题知识点】
1、直角三角形。由不在同一条直线上的三条线段首位顺次相接的图形，且有一个内角为90°的三角形，叫做直角三角形（简称 ‘Rt△’）
2、直角三角形的性质。
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²;（勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD)²=BD·DC
（2）（AB)²=BD·BC
性质6：30度的锐角所对的直角边是斜边的一半。
3、勾股定理。在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在RT△ABC中，∠C=90°，则a²+b²=c² 。
勾股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
4、余弦定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。
5、二分法的定义：对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。
二分法的求法：给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
1 确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ξ。
2 求区间(a，b)的中点c。
3 计算f(c)。
(1) 若f(c)=0，则c就是函数的零点;
(2) 若f(a)·f(c)<0，则令b=c;
(3) 若f(c)·f(b)<0，则令a=c.
(4) 判断是否达到精确度ξ。即若|a-b|<ξ，则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4。
二分法的概述图
解：易知∠C=90°。
分别以CB,CA为x,y轴建立直角坐标系，则B(3,0),A(0,4),M(3-3m/5,4m/5),
CM:y=4mx/(15-3m),即4mx-(15-3m）y=0,
A到CM的距离=|4(15-3m)|/√[(15-3m)^2+16m^2]=2m,m>0,
所以4(225-90m+9m^2)=m^2(225-90m+9m^2+16m^2),
25m^4-90m^3+189m^2+360m-900=0,
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