同态与同构的区别是什么？

Question

如题所述

Answer 1

如果两个代数结构不同构，为了研究它们之间的关系，可考虑它们之间保持运算的映射，这就是同态的概念。

同态比同构更一般、广泛；同构只是同态的特例。同态不是同构的原因主要体现在：相应的映射不是双射，即，不是单射或不是满射。当然也可能既不是单射也不是满射。当映射不是满射时，我们只需考虑映射的像集，这个像集是原来代数结构的子结构。比如，对群的情形，同态的像集是一个子群。用子结构替换原来的代数结构，原来的映射变成了满射！

当映射不是单射时，不同的元素被映到相同的元素。这时，可以把映到同一个元素的元素看成是一样的，或者说它们是等价的。这样我们将得到一个等价关系，做商集。在这个商集上诱导的映射就是一个单射了。这就是同态基本定理的主要想法。

同构映射：

1. 通俗来说，同构是指具有相同的代数结构。代数结构由一个或多个集合、若干运算及一些运算规则所唯一确定。代数结构相同的含义是指：除了表示集合元素的符号有可能不同外，对应集合的元素个数相同，集合上的运算一致，运算规则也完全一样。

2. 两个代数结构相同是指它们之间至少存在一个同构映射。同构映射要满足两个条件：它是集合之间的双射或一一对应；它保持代数结构的所有运算及一些特殊元素，比如，单位元、零元素等等，尽管有些要求可以由其它主要条件推出。

3. 举个例子，两个群之间的同构映射为集合之间的双射，且该映射保持群的乘法运算。即，先乘积后映射与先映射后乘积的结果一致。

4. 研究代数结构的主要目的是对其进行分类，或者说找出所有的这种代数结构。同构的代数结构可以不加区分，把它们可以看成一样的。因此，代数结构的分类就是找出该代数结构的所有同构类。