判断函数收敛或发散的方法有定义法、极限法、导数法和判别法。
1、定义法：对于数列而言，如果数列的每一项都收敛到一个确定的数，那么这个数列就是收敛的。对于函数而言，如果函数的每个点的极限都存在且唯一，那么这个函数就是收敛的。
2、极限法：如果函数在某一点处的极限存在，则该函数在该点处收敛；如果函数在某一点处的极限不存在，则该函数在该点处发散。这种方法需要掌握极限的计算方法和一些常用的极限性质，比如夹逼定理等。
3、导数法：如果函数的导数在某一点处存在，则该函数在该点处收敛；如果函数的导数在某一点处不存在，则该函数在该点处发散。导数的计算可以通过求极限的方法进行，而导数的存在性也可以通过极限的性质进行判断。
4、判别法：有一些常见的判别法可以判断函数的收敛和发散，比如柯西准则等。这些判别法通常需要掌握一些级数和积分的概念和性质，但是使用起来比较方便。
函数的三个主要作用：
1、描述关系：函数可以用来描述两个或多个变量之间的关系。在一个函数中，输入（或自变量）和输出（或因变量）之间存在一种映射关系，这种关系确定了输出值一旦输入值被确定，就唯一确定。这种关系在科学和工程中被广泛应用，例如描述物理现象、化学反应、人口增长等等。
2、简化复杂问题：函数可以把一个复杂的问题简化为一组更小、更易于处理的问题。通过把复杂的问题分解成更小的、可管理的部分，函数可以帮助我们更容易地理解和解决这个问题。例如，在解决一个复杂的数学问题时，我们可以把它分解成几个更小的、更容易解决的子问题，然后使用函数来分别解决每个子问题。
3、建立模型：函数可以用来建立现实世界中的各种模型。例如，在经济学中，函数可以用来描述市场的供求关系；在物理学中，函数可以用来描述物体的运动规律；在计算机科学中，函数可以用来实现各种算法和数据结构。通过使用函数来建立模型，我们可以更好地理解现实世界中的各种现象，预测未来的发展趋势，制定有效的策略等等。