数字信号处理DFT与DFS的疑问

Question

DFT与DFS的定义式如下：

我的疑惑是两个公式的求和都是从n=0到n=N-1,那上面的周期序列x(n)不就与下面的主值序列等价吗？那两种变换不就一样了吗？

Answer 1

一言以蔽之，DFS是具有周期性的，也即离散傅里叶级数的系数是周期的、无限多的，波浪号代表的是周期性，而n~N-1是只拿出一个周期来求级数的系数；
DFT呢，他的变换的对象就是N个点，没有周期性（或者说是隐含了周期性）。
所以你看上去两个变换都是N个点，其实一个（DFS）是周期序列，只取出一个周期来求级数的系数；另外一个（DFT）是一个有限长序列，它不具有或者说隐含着周期性。

Answer 2

X(n)一个带~一个不带~ ，带有~的是一个周期序列，不带~的是一个任意的有限长序列
说明DFS与DFT存在本质联系的，能注意到这一点很好
DFS只是针对周期序列，但是经分析发现周期序列只在其主值周期存在信息
DFT针对有限长序列，并不是周期序列，在做DFT之前 要先对X（K）做周期拓延，将其看做一个周期序列。
所以这导致了后续DFT学习当中 做几点的DFT这个问题 和 逆变换的时候的一些问题，还有不同点数DFT卷积的问题，都是这个周期拓延导致的。弄清楚这个那么后面的东西就会比较好理解

Answer 3

再好好看看定义，k的取值不一样