可导函数的驻点一定是极值点吗

Question

如题所述

Answer 1

可导函数的驻点【不一定】是极值点。

可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

函数的：

1、极值点不一定是驻点。如y=x,在x=0点处不可导，故不是驻点，但是极（小）值点。

2、驻点也不一定是极值点。如y=x,在x=0处导数为0，是驻点，但没有极值，故不是极值点。

驻点的概述

在微积分，驻点（Stationary Point）又称为平稳点、稳定点或临界点（Critical Poit）是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。

值得注意的是，一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点（考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况）；反过来，在某设定区域内，一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点（考虑到边界条件），驻点（红色）与拐点（蓝色），这图像的驻点都是局部极大值或局部极小值。